多元函数微分法及其应用--复习题(及答案)

1第八章多元函数微分法及其应用教学与考试基本要求1．理解多元函数、多元函数偏导数的概念，会求多元函数的定义域、二重极限；2．会求多元函数的偏导数、全微分、全导数等；3．会求空间曲线的切线及法平面、空间曲面的切平面及法线方程；4．会求方向导数和梯度5．会用多元函数微分法解决简单的最大值最小值问题．8.1多元函数的概念一、主要内容回顾二重极限设二元函数),(yxfz在点),(000yxP的某一去心邻域内有定义，如果动点),(yxP沿任意方式趋近于),(000yxP时，对应的函数值),(yxf总是趋近于一个确定的常数A，则称A为函数),(yxf当),(),(000yxPyxP时的极限，或称函数),(yxf在点),(000yxP处收敛于A，记为AyxfAyxfyxyxyyxx),(lim),(lim),(),(0000或注意：如果点),(yxP只是沿某一条或几条特殊路径趋向于),(000yxP，函数),(yxf趋向于某一确定的值，不能判断函数的极限存在；反过来，如果当),(yxP沿不同的路径趋于),(000yxP时，),(yxf趋于不同的值，就可判定),(yxf在),(000yxP的极限不存在．注：二重极限的运算与一元函数极限的运算完全一致．连续（1）设二元函数),(yxfz在点),(000yxP的某邻域内的定义，如果),(),(lim0000yxfyxfyyxx，则称函数),(yxfz在),(000yxP处连续，并称),(000yxP为),(yxfz的连续点．（2）设二元函数),(yxfz在点),(000yxP的某邻域内的定义，如果0lim00zyx，则称函数),(yxfz在),(000yxP处连续．其中),(),(0000yxfyyxxfz称为),(yxfz在),(000yxP处的全增量．（3）若函数),(yxfz在D内每一点都连续，称函数在D内连续．（4）函数的不连续点称为函数的间断点．2一阶偏导数设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内有定义，（１）若xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为),(yxf在),(00yx处对x的偏导数，记作00yyxxxz，00yyxxxf，00yyxxxz或),(00yxfx（２）若yyxfyyxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为),(yxf在),(00yx处对y的偏导数，记作00yyxxyz，00yyxxyf，00yyxxyz或),(00yxfy．（３）若),(yxfz在区域D内的每一点),(yx处对x（或y）的偏导数都存在，则这个偏导数为yx,的函数，此函数称为),(yxfz对x（或y）的偏导函数，记为xz（或yz）．不致混淆时也称偏导函数为偏导数．几何意义（１）),(00yxfx表示空间曲线0),(yyyxfz在点)),(,,(0000yxfyxM的切线对x轴的斜率；（２）),(00yxfy表示空间曲线0),(xxyxfz在点)),(,,(0000yxfyxM的切线对y轴的斜率．二阶偏导数若),(yxfz在区域D内的偏导函数仍在D内可导，则它们的偏导函数是),(yxfz的二阶偏导数，分别是：),()(22yxfxzxzxxx，),()(2yxfyxzxzyxy),()(2yxfxyzyzxyx，),()(22yxfyzyzyyy其中),(),,(yxfyxfyxxy称为(,)zfxy的二阶混合偏导数．同理可定义三阶及三阶以上的偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．注意：混合偏导数与求导顺序有关，但当),(),,(yxfyxfyxxy在D内连续时，),(),(yxfyxfyxxy．全微分设函数),(yxfz在点),(yx的某邻域内有定义，如果全增量),(),(0000yxfyyxxfz可表示为)(yBxAz3其中BA,不依赖于yx,，仅与yx,有关，22)()(yx，则称函数),(yxfz在点),(yx处可微，yBxA称为),(yxfz在点),(yx的全微分，记作dz，即yBxAdz．若函数),(yxfz在D内的每一点处可微，称函数的D内可微．可微的性质（１）可微的必要条件：若),(yxfz在),(yx处可微，则),(yxfz在),(yx处可导，且yyzxxzdz（２）可微的充分条件：若),(yxfz的偏导数yzxz,在),(yx连续，则函数),(yxfz在该点必可微．（３）记ydyxdx,，则dyyzdxxzdz．复合函数的偏导数（１）若函数),(),,(yxvyxu在点),(yx处对x及对y的偏导数存在，),(vufz在对应点),(vu对u及对v有连续的偏导数，则复合函数)],(),,([yxyxfz在点),(yx处对x及对y的偏导数存在，且有公式xvvzxuuzxz；yvvzyuuzyz．（２）对),(),,(),,(),,,(yxwwyxvyxuwvufz亦有xwwzxvvzxuuzxz；ywwzyvvzyuuzyz．（３）对),(),,,(yxuuyxufz有xfxuufxz；yfyuufyz．全导数设)(),(),,(tvtuvufz，则复合函数)](),([(ttfz是t的一元函数，且dtdvvzdtduuzdtdz，称为z关于t的全导数．隐函数的偏导数（１）设函数),(yxF在),(000yxP的某邻域内具有连续偏导数，且0),(00yxF0),(00yxFy，则方程0),(yxF在点),(000yxP的某邻域内可惟一确定一个具有连续导数的函数)(xfy，满足)(00xfy，且yxFFdxdy．（２）设函数),,(zyxF在),,(0000zyxP的某邻域内具有连续偏导数，且,0),,(,0),,(000000zyxFzyxFz则方程0),,(zyxF在),,(0000zyxP的某邻域内可惟一确定一个具有连续偏导数的函数),(yxfz，满足),(000yxfz，且4xzFzxF；yzFzyF．空间曲线的切线及法平面（１）设的参数方程为),(txx)(tyy，)(tzz，其中)(),(),(tztytx都是t的可导函数，当0tt时，),(00txx)(00tyy，)(00tzz对应曲线上的定点),,(0000zyxM，)(),(),(000tztytx不全为零，则在0M的切向量为)}(),(),({000tztytx，切线方程为)()()(000000tzzztyyytxxx．法平面方程为0))(())(())((000000zztzyytyxxtx．（２）若的方程为)(xyy，)(xzz，(),()yxzx都是x的可导函数，则在),,(0000zyxM的切向量为00{1,(),()}yxzx，切线方程为：)()(100000xzzzxyyyxx．法平面方程为：0))(())(()(00000zzxzyyxyxx．空间曲面的切平面及法线（１）隐式方程情形：设曲面的方程为0),,(zyxF，),,(0000zyxM为上的一点，),,(zyxF在0M的偏导数连续且不全为零，则在0M的法向量为)},,(),,,(),,,({000000000zyxFzyxFzyxFzyx，切平面方程为：0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为：),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx（２）显式方程情形：设曲面的方程为),(yxfz，),,(0000zyxM为上的一点，),(yxfz在),(00yx处有连续偏导数，则在0M的法向量为}1),,(),,({0000yxfyxfyx5切平面方程为：0000000(,)()(,)()()0xyfxyxxfxyyyzz法线方程为：0000000(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy极值设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内有定义，对于该邻域内不同于),(00yx的任意点),(yx，总有)),(),()(,(),(0000yxfyxfyxfyxf或，则称),(00yxf为函数),(yxf的一个极大值（或极小值），点),(00yx称为极大值点（或极小值点）．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．驻点使0),(,0),(0000yxfyxfyx的点),(00yx称为函数),(yxfz的驻点．极值的必要条件设函数),(yxf在点),(00yx处的两个偏导数),(),,(0000yxfyxfyx存在，且在点),(00yx处取得极值，则0),(,0),(0000yxfyxfyx极值的充分条件设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内有连续的一阶和二阶偏导数，),(00yx为函数的驻点，令),(00yxfAxx，),(00yxfBxy，),(00yxfCyy，ACB2，（1）若0，则点),(00yx是),(yxfz的极值点，且当0A时，点),(00yx为极大值点，当0A时，点),(00yx为极小值点；（2）若0，则点),(00yx不是),(yxfz的极值点；（3）若0，),(00yx可能是),(yxfz的极值点，也可能不是),(yxfz的极值点．函数的最大值与最小值在实际问题中，根据问题的实际意义，可以判断函数),(yxfz在区域D上存在最大值或最小值，且一定在区域D的内部取得，而区域D内仅有一个驻点，则函数必在该驻点处取得最大值或最小值．6二、常考题型1.多元复合函数的定义域例1.函数224arctanyxxyz的定义域是_____________．2.求二元函数极限例2求极限1）222200sin()limxyxyxy2）xyxxy100)1(lim；3）22001sinlimyxxyyx．、4）22123limxyxyxyxy3.证明极限不存在例3证明下列极限不存在（1）yxyxyx00lim（2）36200limxyxyxy4.求偏导数及全微分例4求下列函数的偏导数（1）44224zxyxy；（2）222uxyz（3）22sin()xyzexy；（4）lntanxzy；例5求下列函数的全微分（1）22arcsinxzxy；（2）(1)yzxy；（3）yzux；例6求下列函数的偏导数1）设4422(,)4fxyxyxy，求(0,1),(0,1)xyff．2）(,)(1)arcsinxfxyxyy，求(,1)xfx．73）讨论函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyxyfxyxyxy在点)0,0(处的可导性，连续性与可微性．例71）求)ln(xyyzx的二阶偏导数。2）证明函数22lnuxy满足方程：22220uuxy．例8设ln()zxxy，求32zxy。例9（多元复合函数求导）1）2uvze，其中2sin,,utvt，求dzdt2）arctan()zxy，其中xye，求dzdx3）22zuvuv，其中cos,sinuxyvxy，求,zzdzx