直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线的位置关系X一、直线与抛物线位置关系种类xyO1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，两个交点）与双曲线的情况一样xyO二、判断方法探讨1、直线与抛物线相离，无交点。例：判断直线y=x+2与抛物线y2=4x的位置关系计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相离。xyO2、直线与抛物线相切，交与一点。例：判断直线y=x+1与抛物线y2=4x的位置关系计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相切。二、判断方法探讨xyO3、直线与抛物线的对称轴平行，相交与一点。例：判断直线y=6与抛物线y2=4x的位置关系计算结果：得到一元一次方程，容易解出交点坐标二、判断方法探讨xyO例：判断直线y=x-1与抛物线y2=4x的位置关系计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相交。4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交与两点。二、判断方法探讨三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一）把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行（重合）相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离判断直线是否与抛物线的对称轴平行不平行直线与抛物线相交(一个交点)平行三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（二）计算判别式0=00相交相切相离数形结合例1、已知抛物线的方程为24yx,直线l过定点(2,1)P,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线24yx:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?.,21xkyl的方程为设直线由题意解由方程组,,xyxky4212244210kyyk可得①.,41412xxyy得代入把,,101yk得由方程时当①.,,141点与抛物线只有一个公共直线这时l.,1216022kkk的判别式为方程时当①.,,,2110120120kkkk或解得即由.,.,,,,有一个公共点与抛物线只直线这时只有一个解而方程组从只有一个解方程时或当于是lkk211①.,,2110120220kkk解得即由.,.,,,有两个公共点与抛物线直线这时只有两个解从而方程组只有两个解方程时且当于是lkk0211①.,,,2110120320kkkk或解得即由;,,,一个公共点与抛物线只有直线时或或当lkkk02111102,,;kkl当且时直线与抛物线有两个公共点.,,,与抛物线没有公共点直线时或当lkk211我们可得综上,.,.,,,,与抛物线没有公共点直线这时没有解方程组从而没有实数解方程时或当于是lkk211①课堂练习:过点(0,1)M且和抛物线C:24yx仅有一个公共点的直线有______条.kxyBAFO221122122(0)(,),(,),:.ypxpABAxyBxyyyp例2、过抛物线焦点作直线交抛物线于，两点，设求证解：因为直线AB过定点F且不与x轴平行,设直线AB的方程为222221222()2220ypxpypmypxmyypmypyyp即：　（定值）2pxmyxyBAFO________?,:121221xxpyy，那么注意到在同样的条件下联想.4),,(),()0(2:122122112pxxyxB、yxA，Fppxy则有交抛物线于点的直线焦点过抛物线变题221122122(0)(,),(,),:.ypxpABAxyBxyyyp例2、过抛物线焦点作直线交抛物线于，两点，设求证xyOFABB’A’224,(1)4,yxxx代入方程得.0162xx化简得84)(216212212121xxxxABxxxx。的长是所以，线段8AB例3.斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.y2=4x解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1xyOFABB’A’.,,),,(),,(2211BAddlBAyxByxA的距离分别为准线到设,1,121xdBFxdAFBA由抛物线的定义可知1228ABAFBFxx所以例3.斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.y2=4x2,1,2pp.1:xl准线解法二:由题意可知,分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．xyOFBAxyOFBADCxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCH变式：过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．证明：如图．xyEOFBADCH所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜例4、已知抛物线y2=2x,过Q(2,1)作直线与抛物线交于A、B，求AB中点的轨迹方程..FxOyQABM解：1122(,),(),(,)AxyBxyABMxy设中点22212122xyxy由)(221212121xxyyxxyy相减得：1ABky12ABykx又112yyx220yyx即212(,)(2,0)20xxxyyyx当=2时，为满足02:2xyyM轨迹方程为中点