9年级培优：反比例函数的几个特殊结论

9年级培优：反比例函数的几个特殊结论为方便起见，这里所讲的反比例函数均以在第一象限的一支图像为例，当下面的图像出现在其他象限时，结论仍然对应成立。【结论1】一次函数y=-x+b(b＞0)与反比例函数xy=k(k＞0)的图像交于点A，B，一次函数图像与y轴和x轴分别交于点C、D。求证：△OAC≌△OBD。【结论2】一次函数y=mx+b(m＜0，b＞0)与反比例函数xy=k(k＞0)的图像交于点A，B，连接OA、OB，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为点C、D。则：S△OAB=S梯形ABDC【提示】S△OAC=S△OBD，故S△OAE=S梯形EBDC，从而S△OAB=S梯形ABDC。【结论3】如图，反比例函数xy=k(k＞0)与反比例函数xy=m(m＞0)，k＜m，在第一象限任取xy=m图像上的一点A，过点A向y轴作垂线，与y轴交于点B，与xy=k的图像交于点D；过点A作x轴的垂线，垂足为C，与xy=k的图像交于点E，连接DE、BC。求证：ED∥BC。【解析】设A（a，m/a），则D（ak/m，m/a），B（0，m/a），E（a，k/a），C（a，0），AD=a(1-k/m)，AE=(m-k)/a；∴AD∶AE=a/m∶1/a=a∶m/a，AB∶AC=a∶m/a，根据“平行线分线段成比例的逆定理”（详见比例与相似高级教程（二）：成比例线段判断平行关系）可知：ED∥BC。【结论4】如图，反比例函数xy=k(k＞0)在第一象限的图像上任取两点P、C，过点C向y轴作垂线，与y轴交于点B，过点P作PA⊥x轴于点A。求证：S梯形OAPB=S梯形OBCA（或S△BPD=S△ACD）【提示】连接OP、OC、OD（如图4-1）。S△AOP=S△BOC=k/2，∴S△AOP+S△OBP=S△OAC+S△BOC，即：S梯形OAPB=S梯形OBCA。【结论5】如图，反比例函数：y=k/x(k＞0，x＞0）的图像经过矩形OABC边BC的中点F，与边AB交于点E，连接OE、OF。（3）S△COF∶S△OFE∶S△BFE∶S△OAE=2∶3∶1∶2【提示】根据【结论3】，BF∶BC=BE∶BA=1∶2，故点E为AB的中点，∴S△OCF=S△OAE=k/2；S△BFE=S△BFE/2=k/4；S矩形ABCO=4S△OCF=2k，∴S△OEF=2k-k/2-k/2-k/4=3k/4.【注】以上结论证明过程均不复杂，但是结论非常重要，在选择题和填空题中经常用到，必须见到相应图像就能立即了解相应结论，这样在解题中就大大节省时间。