一般数项级数的敛散性及其判别

1232§3一般数项级数的敛散性及其判别3.1交错级数1交错级数定义3.1(交错级数)各项正负交错的数项级数∑∞=+−11)1(nnnu+−++−+−=−nnuuuuu14321)1(，或=−∑∞=1)1(nnnu+−+++−+−nnuuuuu)1(4321称为交错级数，其中),2,1(0=nun。若交错级数∑∞=+−11)1(nnnu满足(1)),2,1(1=≥+nuunn；(2)0lim=∞→nnu，则称此级数∑∞=+−11)1(nnnu为Leibniz型级数。2交错级数的Leibniz定理定理3.1(Leibniz判别法)Leibniz型级数必收敛，且余和的符号与余和首项相同，并有1||+≤nnur。证1)()()()(22122124321)1(2++−+−+−++−+−=nnnnnuuuuuuuuS≥nnnSuuuuuu22124321)()()(=−++−+−−，⇒nS2单调上升；又1212223212)()(uuuuuuuSnnnn≤−−−−−−=−−，即数列}{2nS有界。由单调有界原理，数列}{2nS收敛。设)(,2∞→→nSSn。)(,12212∞→→+=++nSuSSnnn。⇒SSnn=∞→lim，即级数∑∞=+−11)1(nnnu收敛。1233由证明数列}{2nS有界性可见，∑∞=+≤−≤111)1(0nnnuu。余和∑∞+=+−11)1(nkkku亦为Leibniz型级数，⇒余和nr与1+nu项同号，且估计式为111)1(+∞+=+≤−=∑nnkkknuur。证2如前已证{}12−mS是递减的，{}mS2是递增的。又002212→=−−mmmuSS)(∞→m，从而]},{[122−mmSS是一个闭区间套，故由Cantor闭区间套定理知，存在唯一的一个数S，使SSSmmmm==∞→−∞→212limlim。故数列{}nS收敛，即级数∑∞=+−11)1(nnnu收敛。其它如前证。例3.1判别级数∑∞=−1)0()1(nnnxnx的敛散性。解10≤x时，由Leibniz判别法，⇒∑∞=−1)1(nnnnx收敛；1x时，通项0→/，∑∞=−1)1(nnnnx发散。3.2绝对收敛级数及其性质1绝对收敛和条件收敛定义3.2若正项级数∑∞=1nnu收敛，则称级数∑∞=1nnu绝对收敛；若级数∑∞=1nnu收敛，而正项级数∑∞=1nnu却发散，则称∑∞=1nnu条件收敛。例如，正项级数()()121112121==−∑∑∞=∞=−ppnnnnn级数，收敛，而Leibniz级数()∑∞=−−111nnn条件收敛。说明收敛⇒/绝对收敛。2绝对收敛与收敛的关系1234定理3.2(绝对收敛与收敛的关系)+∞∑∞=1nnu，⇒∑∞=1nnu收敛。证1已知正项级数∑∞=1nnu收敛，根据级数的Cauchy收敛准则，++∈∀∀∈∃∀NpNnNN,,,0ε，有ε…+++++pnnnuuu21。从而，有≤…+++++pnnnuuu21ε…+++++pnnnuuu21。即级数∑∞=1nnu收敛。证2注意到nnnnuuuu−+=)(，因为nnnuuu20≤+≤，而级数∑∞=1nnu收敛，由比较判别法知，级数∑∞=+1)(nnnuu收敛，再由收敛级数的线性性知，级数∑∞=1nnu收敛。判定任意项级数∑∞=1nnu的敛散性的方法如下：⑴首先考察∑∞=1nnu是否收敛，若收敛，则∑∞=1nnu收敛，其次若∑∞=1nnu不收敛，再用其它方法考察∑∞=1nnu的敛散性；⑵因∑∞=1nnu为正项级数，其敛散性可以用正项级数的判敛法判定；⑶一般如果1||nnu∞=∑发散，推不出级数1nnu∞=∑一定发散；但是如果1||nnu∞=∑的发散性是用根值法或比值法确定的，此时可以由1||nnu∞=∑发散推出1nnu∞=∑发散；例如，因为1||lim1||nnnuuρ+→∞=，所以1||nnu∞=∑发散，则0ε∀，N∃，当nN时，12351||||||nnuuρε+−，即1||||nnuuρερε+−+；由于1ρ，可以取适当的ε，使得1ρε−，即1||1||nnuuρε+−，或1||||nnuu+，从而nN时，{||}nu单调增加，因此lim||0nnu→∞≠，必有lim0nnu→∞≠；根据级数收敛的必要条件1nnu∞=∑发散。例3.2判定级数∑∞=12sinnnnα的敛散性。解先考察∑∞=12sinnnnα的敛散性，由于nnn212sin≤α，而等比级数nn211∑∞=是收敛的，所以∑∞=12sinnnnα是收敛的，因此级数∑∞=12sinnnnα是收敛的，且为绝对收敛。例3.3证明级数∑∞=−−−12112)1(nnnn为条件收敛。解首先，由Leibniz交错级数判敛法知级数∑∞=−−−12112)1(nnnn是收敛的；级数∑∞=−−−12112)1(nnnn=∑∞=−1212nnn为正项级数，而22)1(12nnnnn−+=−nnn12=，因为调和级数∑∞=11nn是发散的，所以级数∑∞=−−−12112)1(nnnn是发散的，因此，∑∞=−−−12112)1(nnnn为条件收敛。3.3绝对收敛级数的性质1变正项级数对级数∑∞=1nnu，令⎩⎨⎧≤=+=.0,0,0,2||nnnnnnuuuuuv⎩⎨⎧≥−=−=.0,0,0,2||nnnnnnuuuuuw则有⑴∑∞=1nnv和∑∞=1nnw均为正项级数，且有||0nnuv≤≤和||0nnuw≤≤；1236⑵nnnwvu+=||，nnnwvu−=。2变正项级数的性质定理3.3⑴若∑∞=1nnu+∞，则∑∞=1nnv+∞，∑∞=1nnw+∞。⑵若∑∞=1nnu条件收敛，则∑∞=1nnv+∞=，∑∞=1nnw+∞=。证⑴由||0nnuv≤≤和||0nnuw≤≤，ⅰ成立。⑵反设不真，即∑∞=1nnv和∑∞=1nnw中至少有一个收敛，不妨设∑∞=1nnv+∞。由nu=nvnw−，nw=nvnu−以及∑∞=1nnv+∞和∑nu收敛，⇒∑∞=1nnw+∞。而nnnwvu+=||，⇒∑∞=1nnu+∞，与∑∞=1nnu条件收敛矛盾。3绝对收敛级数的可重排性已知有限和的计算满足结合律、交换律和分配律。收敛级数是无限和，那么收敛级数的运算是否也满足结合律、交换律与分配律？定理1.3已回答收敛级数满足结合律。一般来说，收敛级数不满足交换律与分配律。例如，已知交错级数()∑∞=−−111nnn收敛，设其和为A，即()+−++−+−+−=−nAn1161514131211。如果将其项作如下交换：按此级数原有的正项与负项的顺序，一项正两项负交替排列，即+−−+−−+−−1211015181613141211。假设此级数收敛，作如下的结合：+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−1211015181613141211=+−+−+−121101816141211237=A216151413121121=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+−+−。即交换其项之后的新级数，其和却是A21。由此可见，收敛级数不满足交换律。这是有限和与无限和（收敛级数）的区别之一。定理3.4设∑′nu是∑nu的一个更序。若∑||nu+∞，则||∑′nu+∞，且∑′nu=∑nu。证⑴若nu0≥，则∑′nu和∑nu是正项级数，且它们的部分和可以互相控制。于是，∑nu+∞，⇒∑′nu+∞，且和相等。⑵对于一般的nu，∑nu=∑nv∑−nw，⇒∑′nu=∑′nv∑′−nw。正项级数∑′nv和∑′nw分别是正项级数∑nv和∑nw的更序，由∑||nu+∞，据定理3.3，∑nv和∑nw收敛。由上述⑴所证，有∑′nv+∞，∑′nw+∞，且有∑nv=∑′nv，∑nw∑nu=∑′nw，⇒∑nu=∑′nu。由该定理可见，绝对收敛级数满足加法交换律。是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢?回答是肯定的。条件收敛的级数有个一般的结果，这是下面的Riemann定理。定理3.5(Riemann)若级数∑nu条件收敛，则对任意实数s(甚至是∞±)，存在级数∑nu的更序∑′nu，使得∑′nu=s。证以Leibniz级数∑∞=+−111)1(nnn为样本，对照给出该定理的证明。关于无穷和的交换律，有如下结果：⑴若仅交换了级数∑nu的有限项，∑nu的敛散性及和都不变。⑵设∑′nu是的一个更序。若N∈∃K，使nu在∑′nu中的项数不超过Kn+，则∑′nu和∑nu共敛散，且收敛时和相等。3.4级数乘积简介下面讨论两个级数的乘积。两个级数的乘积是两个有限和乘积的推广。12381级数乘积定义3.3两个级数∑∑∞=∞=11nnnnba与的乘积级数是所有乘积()+∈Nkibaki,之和，即∑∑∑∞=∞=∞==⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛1,11kikinnnnbaba。乘积级数的项可按不同的顺序排列。常用的是按正方形顺序或对角线顺序的排列。按正方形顺序排列是：+++++++++=∑∞=1323333231122221111,babababababababababakiki按对角线顺序排列是：∑∑∞=∞==++++++=11322311221111,nnkikicbababababababa，(3.1)其中123121babababacnnnnn++++=−−（每项下标之和是n+1）。按对角线顺序排列的乘积级数∑∞=1nnc称为两个级数∑∑∞=∞=11nnnnba与的Cauchy乘积。两个收敛级数的乘积级数可能发散。例如，已知级数()∑∞=−−111nnn收敛。此收敛级数的自乘，它的Cauchy乘积()()kkknncn∑∑∞=−∞=−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−1121111。(3.2)其中,,,2,1,111112111kikikikkck=∀⋅+++−⋅++−⋅+⋅=有kkkiki1111=⋅≥+−⋅，从而NkNNkkck∃∈∀=≥+,,11即，使()111≥−−kkc。于是，级数(3.2)发散，这是因为()∑∞=−−111nnn是条件收敛。12392级数乘积的Cauchy定理定理3.6(Cauchy)若级数∑∑∞=∞=11nnnnba与都绝对收敛，其和分别是A与B，则它们的乘积级数∑∞=1,kikiba也绝对收敛，其和为AB。证明首先证明∑∞=1,kikiba绝对收敛，已知正项级数∑∑∞=∞=11nnnnba与收敛。设它们的n项部分和分别是'nA与'nB，且数列{}'nA与{}'NB都有上界，设它们的上界分别是'A与'B。设正项级数∑∞=1,kikiba的m项部分和是'mS，即nmppkikikipkimbabababaS+++==∑∞=22111'，其中ppki,都是正整数。令{}+∈∀=Nmkkkiiiqmm.,,,;,,,max2121，有()()qqmbbbaaaS++++++≤2121'或'''''BABASqqm≤≤（常数）。即正数数列{}'mS有上界，级数∑∞=1,kikiba收敛，从而乘积级数∑∞=1,kikiba绝对收敛。其次证明∑∞=1,kikiba=AB。设级数∑∑∞=∞=11,nnnnba与∑∞=1,kikiba的n项部分和分别是nnBA,与nS。又已知BBAAnnnn==∞→∞→limlim与。根据定理3.4，只讨论乘积级数按正方形顺序排列即可。显然，nnnBASNn=∈∀+2,有。从而，ABBASnnnnn==∞→∞→limlim2。已知部分和数列{}nS收敛，且有一个子列{}2nS收敛于AB，则数列{}nS收敛于AB，即ABSnn=∞→lim。于是，乘积级数∑∞=1,kikiba=AB。1240注绝对收敛的级数的许多性质是条件收敛的级数所不具备的，如任意调整原级数中项的位置后的新级数仍然收敛，且和不变；两个绝对收敛的级数的柯西乘积所组成的新级数仍然绝对收敛，且其和为原来的两个级数的和的乘积。例3.4几何级数1||,1112+++++=−rrrrrn是绝对收敛的。将20⎟⎠⎞⎜⎝⎛∑∞=nnr按Cauchy乘积排列，得到 +++++++++++=++个12222)()()(