平面向量讲义

1平面向量一、知识框架1.向量加法的运算及其几何意义。2.对向量加法定义的理解。3.向量的减法运算及其几何意义。4.对向量减法定义的理解。5.实数与向量积的意义。6.实数与向量积的运算律。7.两个向量共线的等价条件及其运用。8.对向量共线的等价条件的理解运用。二：平面向量基础概念1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段。2.向量：既有大小、又有方向的量叫做向量。向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）。如向量AB的长度记作AB，它是一个数量。3、向量有两种表示方法：①有向线段表示，如“有向线段AB”以A为起点、B为中点，用符号表示为“AB”②应用小写英文字母表示，如a。4、相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量。相反的向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量。平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量。例题【例题1】如图，已知四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.（1）写出与ED相等的向量；与ED相反的向量；与ED平行的向量；（2）若5AB，求ED的模.【例题2】如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，点E、F分别在两腰AB、DC上，EF过点P且EF//AD.下列等式正确的是（）2【例题3】如图，将一个向量AB放在平面直角坐标系内，若它的起点A在原点，终点B在直线y＝x，y＝－x+2的交点上，则（1）求出它的终点B的坐标；（2）求出AB；（3）在平面直角坐标系中分别画出一个与AB相等、相反、模相等的向量，并标出它们起点、终点所在的坐标.三：平面向量的加法1.向量的加法：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法。2.向量加法的三角形法则：一般地，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点的向量就是和向量。这样的规定叫做向量加法的三角形法则。图示：3.向量加法的平行四边形法则：如果a、b是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点，作两个向量分别与a、b相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是a与b的和向量。图示：4、零向量：把长度为零的向量叫做零向量，记作0。规定0的方向可以是任意的（或者说不确定）；00。0aa，0aa，0aa。向量加法满足交换律：abba。向量加法满足结合律：abcabc。5、一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量。这样的规定叫做几个向量相加的多边形法则。3多个首尾相连的向量相加及其运算：122311nnnAAAAAAAA。【例题1】在□ABCD中，=,ABaADb，用ab与表示向量+ACDB.【例题2】如图，某船从点A出发以23千米/时的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2千米/时，求船实际航行的速度的大小与方向.【例题3】一艘海轮先向东行驶了2海里，然后向南偏转了60°，又行驶了4海里，再次向东航行了2海里，把此海轮3次位移记为向量abc、、，请解释dabc+的意义.【例题4】某人从点A出发，向东走了150米到达点B，然后改变方向向南偏东30°走了400米，到达点C，最后又改变方向，向西走了150米，到达点D.（1）作出向量ABBCCD、、.（2）求DA.【例题5】如图，梯形ABCD中，AD//BC，设=,,ABaADbCDc（1）__________(BCabc用、、表示)（2）求作向量+abc.【例题6】如图，在直角三角形ABC中，∠ACB为直角，CD是斜边AB上的高，43.ACBC，求（1）CD；（2）ACCB；（3）ACBC；（4）.BCCDDA4【例题7】在平面直角坐标系中有三个向量OAOBOC、、，其中O为坐标原点，A点坐标（3，2），B点坐标（3，－2），C点坐标（－3，2），又有OAOBOD，OAOCOE.求OA及D、E的坐标.【例题8】运用作图的方法判断ab和ab的大小【例题9】如图，菱形ABCD中，O是对角线的交点，++:++3BABCDOCBCDAO.求菱形ABCD的内角度数.【例题10】如图，已知四边形AECF是平行四边形，点B、D在对角线EF上，且BE＝DF，用向量的加法证明：四边形ABCD是平行四边形.【例题11】如图，E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，求证：.四：平面向量的减法1.向量的减法：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法。2.向量减法的三角形法则：在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量。这样的规定叫做向量1()2EFABDC5减法的三角形法则。减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。abab。向量加减法的相互转换ABCDABDC。【例题1】在平面直角坐标系中，有一个向量AB，A（6，6），B（9，6），那么（1）将AB平移使A与坐标原点重合，此时B点位置在哪里？（2）坐标系中还有一个向量OC，C点坐标（0，－3），ODABOC，求D点坐标.【例题2】有两队纤夫共同拉着船M逆流而上，要使船向前加速移动，必须在正前方有10000牛的力.已知两队纤夫的力分别为12FF、，且12=FF，12FF、与前进方向的夹角都是30°，又知道水对船的阻力为f，且20000fN，求1F.【例题3】一艘船要过河，它总是走最短路线，又知道河水由上游往下游流，速度为3km/h.（1）若船头向上游偏45°，则船速要为多少？（2）若船头向上游偏30°，则船速要为多少？（3）若船头正对着对岸，问：船有没有可能走最短路线？【例题4】如图，已知点E在平行四边形ABCD的边AB上，设=,,AEaADbDCc.（1）试用向量abc、、表示向量,DEEC.（2）求++DEECAD（并画图表示）6【例题5】如图，已知四边形ABCD中，=,ABaCDb，E为AD的中点，F为BC的中点.（1）用向量abEF和表示；（2）若=3=2ab，，ab与互相垂直，求EF.【例题6】如图，已知ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点，CE、AF分别与对角线BD相交于点G、H.设=,ABaADb，用ab、分别表示向量AFDH、.五：平面向量的线性运算1.向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算。2.设k是一个实数，a是向量，那么k与a相乘所得的积是一个向量，记作ka。如果0k，且0a，那么ka的长度kaka；ka的方向：当0k时ka与a同方向；当0k时ka与a反方向。如果0k或0a，那么0ka。3.实数与向量相乘满足下列运算律：设m、n为实数，则⑴mnamna；⑵mnamana；⑶mabmamb。4.平行向量定理：如果向量b与非零向量a平行，那么存在惟一的实数m，使bma。5.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量。设e为单位向量，则1e。【例题1】如图，平面四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，EG和FH相交于O点，已知,ADaCDb，下列正确结论的个数是（）①；②；③；④.（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个12FAb12OFa32BAHDb32BCEAa7【例题2】下列关于ab、的式子：①//ab；②ab；③0ab；④ab.如果ab、是互为相反的向量，那么上面式子中正确的个数是（）（A1（B）2（C）3（D）4【例题3】已知非零向量OCc，向量OD与c的方向相反，它的长度是c的15，则OD.【例题4】三个非零向量OMONOT、、的方向完全相同，=,=OMaONb，OT的长度是a的m倍与b的n倍之和（m、n是实数），用a和b表示OT.【例题5】下列说法中，错误的是（）（A）m个b连加，结果是mb（B）当0,0ka时，ka与a是同方向的（C）如果ka和a平行，则两个向量方向相同（D）当0k时，kaka【例题6】下列命题中，正确的个数是（）①设k是一个实数，a是向量，那么k与a相乘的积是一个向量②如果0,0ka，那么ka的长度是ka③如果00ka，或，那么0ka④如果0k，ka的方向与a的方向相反.（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个【例题7】已知非零实数m、n（m≠n）和非零向量abx、、，且满足向量关系式()(23)4mnaxb，用向量ab、和实数m、n表示向量x【例题8】1.对于实数k≠0，当非零向量b与a反向时，kba，则b.【例题9】已知向量abc、、，且2abc，3abc，则向量a与b是平行（填：同向或反向）8【例题10】如图，矩形窗框有八块大小完全相同的长方形玻璃，已知长方形玻璃ATQH，AH＝30cm，AT＝20cm，,ATaAHb.（1）把向量ABDCBC、、用a和b表示出来；（2）化简ABBCDCDA；（3）连结HE、HF，并用ab、表示HEEF和.【例题11】在矩形ABCD中，O为AC的中点，若3,2BCaDCb，则AO等于（）【例题12】若向量方程2()3(2)0xaxb，则向量x可用ab、表示为（）6226()()()62()265555AbaBabCbaDab【例题13】如果平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于O，=ABaBCb，，那么CO可以表示为（）【例题14】如图3,3OAaOBb，C、D是线段AB的两个三等分点，则CD等于（）()()()()AabBbaCabDab【例题15】在四边形ABCD中，2,4,32(ABabBCaCDabab、不平行）（1）试用ab、的线性组合表示向量AD；（2）判断四边形ABCD的形状.1()(32)21()(32)2BabDba1()(32)21()(23)2AabCba11()2211()22AabCab11