第二章-测度与测度的构造

42第二章测度与测度的构造我们知道Riemann积分的几何意义是曲边梯形的面积.为在欧氏空间空间nR上推广Riemann积分的理论,我们必须把象长度,面积和体积等概念推广到nR中的更一般的集上去.本章将要定义的nR上的Lebesgue测度就是长度,面积和体积等概念推广.由于现代数学的许多分支需要,我们将在一般的空间上建立测度与积分的理论.本章2.1和2.2将要讨论一般空间上的测度的基本性质和测度的构造方法.nR上的Lebesgue测度虽然是一般测度的一个特例,但它在测度论中具有特别重要的地位.在2.3中将讨论nR上的Lebesgue测度构造方法及其性质.2.1测度与测度的性质教学目的给出一般空间上测度的定义,并由测度的定义推出测度的基本性质.Lebesgue测度和Lebesgue-Stieljes测度是本节定义的测度最重要的特例,将在2.3中介绍.本节要点本节讨论的测度是一般空间上的抽象测度.应通过一些例子,是学生理解测度的意义.广义实数集在讨论测度之前,先介绍一下广义实数集.测度论中讨论的函数和测度将允许取正负无穷为值.为此引进∞+”和∞−”两个符号(分别读作正无穷和负无穷),称之为广义实数.规定它们与实数a之间的大小关系和四则运算如下:(1)序关系:.+∞∞−a(2)加法:.)()()()(±∞=±∞+±∞=+±∞=±∞+aa(3)乘法:∞=∞±=⋅±∞=±∞⋅.0000)()(aaaaam(4)除法:.0=∞±a(5)绝对值:.+∞=∞±象)()(±∞−±∞和∞±∞±等未定义的运算是无意义的,在运算中要注意避免这种情况出现.43例如若cba,,是广义实数,则只有当±∞≠b时候,才能从cba=+推出bca−=.否则会出现)()(±∞−±∞的情况,这是没有意义的.记∗R=}.,{1−∞+∞∪R称∗R为广义实数集,它的元素称为广义实数.取值于∗R的序列和函数分别称为广义实数列和广义实值函数.类似于实数集的情形,可以定义广义实数集的子集的上确界,下确界和广义实数列的极限.不同的是这里的上下确界和极限可以取∞±为值.另外我们也允许无穷级数的和为∞±(详见附录II).测度的定义与性质设X是一固定的非空集.本节所讨论的集都是X的子集.我们称定义在集类上的函数为集函数.定义1设R为一个环,µ:R],0[∞+→是一个非负值集函数.如果µ满足如下条件:(i).0)(=∅µ)ii(可数可加性:对A中的任意一列互不相交的集},{nA当∈∞=U1nnAR时,成立.)()(11∑∞=∞==nnnnAAµµU则µ称为R上的一个测度.注1环上的测度也具有有限可加性.事实上,设∈nAA,,1LR,则.)()()()()()(1111∑===+∅+++=∪∅∪∪∪=niinnniiAAAAAAµµµµµµLLLLU这表明µ具有有限可加性.但在一般情况下,有限可加性不能推出可数可加性.思考题证明:若µ是环R上的广义实值函数,µ不恒为∞+,并且满足可数可加性,则µ是R上的测度.例1设R=}.,{∅X令.1)(,0)(==∅Xµµ则µ是R上的测度.例2设X是一非空集,a是X中的一个固定元.对任意∈A),(XP令∉∈=.0,1)(AaAaA若若µ则容易验证µ是)(XP上的测度.44例3设F是非空集X上的−σ代数.对任意,F∈A若,∅≠A则令+∞=)(Aµ.另外令,0)(=∅µ则µ是F上的测度.例4设},,{21LaaX=是可数集,)(XP是X的全体子集所成的代数−σ.又设}1,{≥ppn是一列非负实数.在)(XP上定义,0)(=∅µ,)(∑∈=AaiipAµ∈A)(XP.容易验证µ是)(XP上的测度.特别地,当)1(1≥=npn时,∞+=.,.)(是无限集当是有限集当中元素的个数AAAAµ此时称µ为X上的计数测度.特别地,若取N=X为自然数集,则得到自然数集上的计数测度.例5设F是非空集X上的−σ代数,∈E.F令}.:{FF∈∩=AAEE则EF是E上的−σ代数(见第一章习题第22题).若µ是F上的测度.则µ(限制在EF上)也是EF上的测度.在2.3将给出测度最重要的例子,即nR上的Lebesgue测度.定理2设µ是环R上的测度.则µ具有如下性质:(1)单调性.若∈BA,R且,BA⊂则).()(BAµµ≤(2)可减性.若∈BA,,RBA⊂并且,)(+∞Aµ则).()()(ABABµµµ−=−(3)次可数可加性.若⊂}{nAR并且∈∞=U1nnA,R则≤∞=)(1UnnAµ.)(1∑∞=nnAµ(4)下连续性.若⊂}{nA,R↑nA并且∈∞=U1nnA,R则)(1U∞=nnAµ=).(limnnAµ∞→(5)上连续性.若⊂}{nAR,↓nA并且∈∞=I1nnA,R,)(1+∞Aµ则)(1I∞=nnAµ=).(limnnAµ∞→证明(1).由于).(,ABABBA−∪=⊂故由于,)(∅=−∩ABA由测度的有限45可加性得到).()()(ABAB−+=µµµ注意到,0)(≥−ABµ因此).()(BAµµ≤(2).在(1)中已证).()()(ABAB−+=µµµ由此式并注意到+∞≤)(0Aµ,即得).()()(ABABµµµ−=−(3).令.2,,1111≥−==−=nAABABniinnU则⊂}{nBR,并且),1(≥⊂nABnn).(jiBBji≠∅=∩易知成立U∞=1nnA=U∞=1nnB(参见第一章习题第18题).利用测度的可数可加性和单调性得到.)()()()(1111∑∑∞=∞=∞=∞=≤==nnnnnnnnABBAµµµµUU(4).令.2,,111≥−==−nAABABnnn由于,↑nA容易知道有),(jiBBji≠∅=∩并且.,111UUU∞=∞=∞===iiiiiinBABA.由测度的可数可加性,我们).(lim)(lim)(lim)()(1111nnniinnniinnnnABBBAµµµµµ∞→=∞→∞==∞→∞=====∑∑UU(5)令并且则,.1,1↑≥−=nnnBnAAB.)(11111IUU∞=∞=∞=−=−=nnnnnnAAAAB注意到,)()()(11+∞≤≤∞=AAAnnnµµµU由测度的可减性和下连续性,得到).(lim)())()((lim)(lim)()()(11111nnnnnnnnnnAAAABBAAµµµµµµµµ∞→∞→∞→∞=∞=−=−===−UI46由上式得到)(1I∞=nnAµ=).(limnnAµ∞→定理证毕.注2在测度的性质(5)中,若去掉条件+∞)(1Aµ,则不能保证(5)中的结论成立.例如,设µ是自然数集N上的计数测度.令.1},,1,{≥+=nnnAnL则↓nA并且.1∅=∞=InnA于是.0)(1=∞=InnAµ另一方面,由于),1()(≥+∞=nAnµ故.)(lim+∞=∞→nnAµ因此)(1I∞=nnAµ)(limnnAµ∞→≠.定义3设µ是环R上的测度.).i(若对每个∈AR都有,)(+∞Aµ则称µ是有限的.).ii(若对每个∈AR,存在R中一列集},{nA使得+∞)(nAµ)1(≥n并且,1U∞==nnAA则称µ是−σ有限的.容易知道,若环R上的测度µ是−σ有限的,则上述定义中的}{nA可以选取为互不相交的.特别地,若µ是−σ代数F上的测度,则µ是−σ有限的当且仅当存在F中一列互不相交的集},{nA使得+∞)(nAµ)1(≥n并且.1U∞==nnAX例如,本节例1和例2中的测度是有限的.例4中的测度是−σ有限的.定义4(1)设X为一非空集,F为X上的−σ代数.称二元组合),(FX为可测空间.F中的集称为−F可测集(或简称为可测集).(2)设µ为可测空间),(FX上的测度.称三元组合),,(µFX为测度空间.若测度µ为有限的或−σ有限的,则分别称测度空间),,(µFX为有限的和−σ有限的.小结为了适应现代数学的许多分支需要,本节在一般空间上介绍测度.本节讨论的测度的性质,以后会经常用到,应熟练掌握.测度最重要的例子,将在2.3中介绍.习题习题二,第1题第8题.