直线和圆的综合题

1、（2010·江苏徐州三调）已知圆M的方程为22(2)1xy，直线l的方程为20xy，点P在直线l上，过P点作圆M的切线,PAPB，切点为,AB．（1）若60APB，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于,CD两点，当2CD时，求直线CD的方程；（3）求证：经过,,APM三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.解析：（1）设(2,)Pmm，由题可知2MP，所以22(2)(2)4mm，解之得：40,5mm故所求点P的坐标为(0,0)P或84(,)55P．…………………………………………4分（2）设直线CD的方程为：1(2)ykx，易知k存在，由题知圆心M到直线CD的距离为22，所以221221kk，……………………………………………………………………6分解得，1k或17k，故所求直线CD的方程为：30xy或790xy.………………………………8分（3）设(2,)Pmm，MP的中点(,1)2mQm，因为PA是圆M的切线所以经过,,APM三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，故其方程为：2222()(1)(1)22mmxmym，……………………………10分化简得：222(2)0xyymxy，此式是关于m的恒等式，故2220,20,xyyxy解得02xy或1,1.xy所以经过,,APM三点的圆必过定点(0,2)或(1,1).…………………………………14分2、（2010·广东惠州调研·文）在直角坐标系中，以(1,0)M为圆心的圆与直线330xy相切．（1）求圆M的方程；（2）已知(2,0)A、(2,0)B，圆内动点P满足2||||||PAPBPO，求PAPB的取值范围．解析：（1）依题意，圆M的半径等于圆心(1,0)M到直线330xy的距离，即|13|213r．……………………………………………………4分∴圆M的方程为22(1)4xy．…………………………………6分（2）设()Pxy，，由2||||||PAPBPO，得222222(2)(2)xyxyxy，即222xy．………………………………………………………………9分222(2)(2)42(1)PAPBxyxyyxy，，.…………11分∵点在圆M内，∴2222(1)404113xyyy，∴的取值范围为[2,6).…………………………………………………………14分3、（福建省宁德三县市一中2010年4月高三第二次联考理）已知圆O：122yx，点O为坐标原点,一条直线l：)0(bbkxy与圆O相切并与椭圆1222yx交于不同的两点AB、.（1）设)(kfb,求)(kf的表达式；（2）若32OBOA，求直线l的方程；（3）若)4332(mmOBOA，求三角形OAB面积的取值范围。来源:学科网ZXXK]解析：（1）(0)ykxbb与圆221xy相切,则2||11bk,即221(0)bkk,所以12kb.……………………………………………………………3分[来源:学科网ZXXK]（2）设1122(,),(,),AxyBxy则由22,1,2ykxbxy消去y得:222(21)4220kxkbxb.又280(0)kk，所以2121222422,.2121kbbxxxxkk………………5分[来源:学科网ZXXK]则1212OAOBxxyy221.21kk由23OAOB,所以21.k22.b0,2,bb所以……………………………………………7分[来源:学§科§网Z§X§X§K]:2,2lyxyx所以.………………………………………………………8分（3）由（2）知：22123.,2134kmmk因为所以22213,3214kk211,2k所以…………………………………………………………………………10分由弦长公式得22222||1,21kABkk所以2222(1)1||,221kkSABk解得62.43S……………………………………………………………14分