二元一次方程组的解法

初中一年级代数第一册第五章二元一次议程组第一单元二元一次方程组的解法一、教法建议[抛砖引玉]二元一次方程组的概念和解法，完全是在一元一次方程组的概念上引深的，因而在教学中要以旧引新，如：一元一次方程→二元一次方程→二元一次方程组。[指点迷津]从形式上看，二元一次方程组较一元一次方程复杂的多，它含有两个方程，每个方程含有两个未知量，有些学生开始对这种情况认识不足，认识不到它的“复杂”性，乍看起来只觉得简单，但自己解起来确是手忙脚乱。为了适应这一过程，要对它从繁到简的转化久留出适当的空间。另外在使用代入法时，用一个未知量表示另一个未知量的解析式有些学生感到困难，在解方程组的过程中，先消去哪个未知数，代入哪入方程，开始时辨认不清，要突破上述困难，（1）理解体会转化的意义和方法；（2）规范解方程组的书写格式以达到熟练程度。二、学海导航[温故知新]代数是一种不用词句而只用符号所构成的一种语言。学会把日常语言中的适当语句“翻译”成代数语言，再把代数语言“翻译”成日常的一句话，是学习代数的一个基本功。例如：两个数的和等于9，两个数的差等于3。这两句话翻译成代数语言即：两个数的和等于9→x+y=9两个数的差等于3→a-b=3这是大家所熟知的形式。现在在原来的两句话中加上“且”和“这”两个字。两个数的和等于9，且这．．两个数的差等于3。加上“这”字，就说明x与a表示同一个量，y与b表示同一个量，即x+y=9（1）x-y=3（2）x+y=9加上“且”字，也就是符合方程（1），又符合方程（2）的那对数叫做的解x+y=9x-y=3反之，求方程的解，也就是求两个数，使它们的和为9，且这．．两个数的差为3x-y=3旧知识中常把一句话翻译同一个数学式子，或把一个数学式子翻译成一句话，现在把有联系的两句话翻译成两个有联系．．的数学式子。即在形式上有“{”把两个式子括在一起，就表示它们有互相联系的关系，它们具有公共解。[设问求知]只有概念明确，才能做到思路清楚。1.什么是二元一次方程？2.什么是二元一次方程的解？3.什么是二元一次方程组？4.二元一次方程组中同一个字母表示的是不是相同的量？5.什么是二元一次方程组的解？6.二元一次方程的解与二元一次方程组的解有什么区别和联系？[解题桥梁——转化]从未知到已知的转化，从难到易的转化等，是解决数学问的重要思想方法，转化要注意转化的条件．．和转化的手段。解二元一次方程组的方法是从二元一次方程组向一元一次方程的转化，转化的条件是方程组中同一字母表示相同的量；转化手段是代入消元法和加减消元法。例如：-x+3y=0（1）x+8y=11（2）利用（1）+（2）消去同一个未知量x转化．．为关于y的一元一次方程11y=11y=1把y=1代入（2）求得x+8y=11x+8=11x=3∴x=3y=1[总结提高]学习数学，要不断归纳总结才能事半功倍，借以提高技能，提高才智。解二元一次方程组是用代入消元法好，还是用加减消元法好，原则上是哪种方法都可以得出它的解，但根据题目形式的特点，选择不同的方法可以减少弯路，加快速度，保证正确。基本方法（a）5x-y=14x+3y=8若某个．．方程中某个．．未知量的系数的绝对值等于1，则用代入法消元法求解为宜。（b）2x+3y=15x-3y=8若两个．．方程中某个．．未知量的系数的绝对值相等，则用加消元法求解为宜。（c）3x-4y=-1（1）2x+3y=16（2）它不具备上述两种情况的条件，一般是通过恒等变形，转化．．为上停（b）的情况。（1）×26x-8y=-2得（2）×36x+9y=48（d）3x-4y=-16x+3y=20本例可以彩“整体”代入法由（1）得3x=4y-1代入（2）得2（4y-1）+3y=20，转化为关于y的一元一次方程求解。（e）6x-9y=3（1）4x+3y=11（2）由于（1）中有公因子3（1）÷3得2x-3y=1，化为2x=3y+1整体代入（2）得2（3y+1）+3y=11，转化为关于y的一次方程求解。（f）3x-4y=-1（1）6x+3y=20（2）观察其特点，还可以用加减消元法与代入消元法相结合的方法（1）+（2）得9x-y=19y=9x-19再代入求解[思维分析]从上述解法中应该体会到，基础知识和基本方法的重要意义，牢固地掌握了它，但不能死．，不能死认．．一种方法，要注意思维的灵活．．性和方法的变通性。在这里，变通需要观察．．，观察方程组的形式特点．．，然后选择简捷的途径求解。你还遇到什么样的二元一次方程组的类型？怎样归类？请思考。[精典解题]解方程组3x+4y=7（1）12x-9y=3（2）思维扩散1.观察方程（2），化为4x-3y=1（3）3x+4y=7（1）4x-3y=1（3）一般解法（1）×3+（3）×4得25x=25xx=1将x=1代入（1），求得y=1，方程组的解∴x=1y=1思维扩散2.（1）+（3）得7x+y=8由此代为y=8-7x代入（1）求解。思维扩散3.因为x的系数成整数倍，故用整体代入法，将3x看作一个整体。由（1）得3x=7-4y代入（2）得3（7-4y）-9y=3从而得解。思维扩散4.因为x的系数成整数倍，帮用整体代入法，将3x+4y看作一个整体将（2）代为12x+16y-25y=34（3x+4y）-25y=3∵（1）为3x+4y=7整体代入上式4×7-25y=3由此得解集中思维分析：思维扩散，是培养创新思维的基础，彻底理解一个题，胜过盲目的演练多个题，但它是在扎实的基础上，灵活运用基础知识得以思维扩散的。基础知识不熟，不掌握好基本方法，就谈不上灵活运用和思维扩散。[特殊的三元一次方程组]解三元一次方程组的方法，即从三元一次方程组转化．．为二元一次方程组，再从二元一次方程组转化．．为一元一次方程，由此得解。如：解x+2y+z=3（1）-2x+y-z=-3（2）x-4y+2z=-5（3）↓三元二元（1）+（2）-x+3y=0（3）（消去同．一个未知量z）（1）×2-（3）x+8y=11（4）↓二元一元（3）+（4）11y=11这里应该注意：在由三元向二元转化时，必须消去同一个未知量；另外一般三个方程都必须参与转化。下面观察几个特殊三元一次方程组的解法：解方程组x+y=7（1）y+z=8（2）z+x=13（3）观察（1）不含z，（2）不含x，（3）不含y，而所有各项系数均为1，三个方程相加可得其解。（1）+（2）+（3）得x+y+z=14（4）用（4）-（1）得z=7x=6（4）-（2）得x=6∴y=1（4）-（3）得y=1z=7解方程组（1）x+y+z=30（2）一般方法，将原方程组化为如下方程组去解。x+y+z=30进一步，转化为5x+8y-3z=03x+2y-z=0x+y+z=30特殊方法：因为中，它们的分子的各项系数均为1；而且都分别不含有z、y、x；又这个连等式反映了等比．．的关系，所以可用等比定理去解，引入等定系数k。设：求k值，由上式转化为x+y=3kz+x=8kk=3y+z=9kx+y+z=30由此方程组可解，解（略）xyzxyz389xyzx38xyyz39xyzxyz389xyzxyzk389特殊的方程组要选用特殊的方法，一要基础知识熟；二要注意观察。本例还可以进一步思考：∵∴将x+y+z=30代入上式则由上式得x+y=9z+x=24y+z=27解（略）[创新园地]请考虑如下方程组的解法。1949x+1999y=1194401999x+1949y=117440解后你能得到什么启示吗？1.已知二元一次方程6x+5y-3=0（1）用含有y的代数式表示x；（2）任意求出方程的两个解；（3）这个方程有没有正整数解，为什么？2.3x-2y=1的解是不是3x-2y=1的解？反之3x-2y=1的解是不是3x-2y=1的解？4x+y=164x+y=163.确是k的值，使9x+4y=1的x、y的值满足方程2x-ky=10x+6y=-14.已知关于x、y的二元一次方程组4x+y=5和mx+ny=3有相同的解。求m、n的值。3x-2y=1nx-my=15.解方程组2x-3y=-7（1）（至少用2种方法）3x-2y=-32x-3y+5z=0（2）4x+2y-z=26x+5y+4z=86.已知代数式X2+PX+Q当X=1和X=-1时的值分别为2和8，求当X=2时，这个代数式的值。参考答案（略）四、同步题库一、填空题1.一般地一元一次方程有个解，二元一次方程有组解.2.若x、y满足方程2x+3y=6，则用含x的代数式表示y，则y=；用含y的代数式表示x，则x=.3.写出3y+x=-5的三组解.4.检验方程组的解时，必须将求得的未知数的值代入原方程组方程，看左、右两xyzxyz389xyzxyzxyz389220xyzxyz3893边是否.5.在方程2x-y=3中，当x=0时，y=；当y=0时，x=.6.方程组13yxyx的解为.yx7.如果方程组121byxyax的解为33yx则a=；b=.8.已知方程ax+by=10的两个解是21yx、50yx,则这个方程是.9.若方程|x+5|+(x+2y)2=0,则x=,y=.10.在方程2x+5y+z=8中，若x=-5,z=2,则y的值为.11.若byax是方程8x-7y=5的一组解，则a与b的关系是.12.已知3x2m+n-1+5y3m-n+2=8是关于x、y的二元一次方程，则m=,n=.13.已知2x-3y=5x+2y=1，那么x=,y=.14.已知3:2:1::160379zyxzyx则x=,y=,z=.15.已知036052zyxyx则yzyx2.二、选择题16.下列方程组yxyxzyyxyxyxyxyyx3103522332312中，二元一次方程组的个数为.（A）0（B）1（C）2（D）417.以x=5、y=5为解的二元一次方程.（A）有且只有一个（B）有且只有两个（C）有且只有三个（D）有无数个18.解为21yx的二元一次方程组为.（A）31yxyx（B）1252yxyx（C）31yxyx（D）531yxyx19.若2x-3yn-2=1是关于x、y的二元一次方程，则n为.（A）0（B）1（C）2（D）320.已知二元一次方程组17541974yxyx方程①减去②得.（A）2y=-2（B）2y=-36（C）12y=-2（D）12y=-3621.方程x+y=8的正整数解的个数是.（A）5（B）6（C）7（D）无数个22.在方程8321yx中，用含x的代数式表示y，正确的是.（A）34xy（B）316xy（C）616xy（D）616xy23.已知2a4b3x与-5a2xb2-4y是同类项，那么.（A）x=-1、y=2（B）x=3、y=1（C）0x、53y（D）x=2、y=-124.如果ayax32是方程2153yx的解，那么a的值是.（A）正数（B）负数（C）0（D）都有可能25.方程|x|+|y|=-2.（A）有且仅有一个解（B）无解（C）有且仅有两个解（D）有无数个解26.已知032502zyxzyx，则x:y:z的值为.（A）3:2:1（B）2:3:1（C）1:2:3（D）2:1:327.解方程组1124zyxzyzx最简便的方法是.（A）直接用代入法先消去x（B）先用③-①消去x、z（C）用①-②、②-③先消去z（D）先用2×③-②消去y28.代数式ax+by，当x=3,y=-2时，它的值是8；当x=2，y=5时，它的值是-1，则这个代数式为.（A）2x+y（B）-2x+y（C）2x-y（D）-2x-y①②①①①6.方程组6.方程组②①③29.已