2018年全国高中数学联赛河北省预赛高三数学试题(解析版)

第1页共9页2018年全国高中数学联赛河北省预赛高三数学试题一、填空题1．若,且,则的最小值为______________．【答案】3【解析】试题分析：设Z=a+bi（a，b∈R），满足|Z-2-2i|=1的点均在以C1（2，2）为圆心，1为半径的圆上，所以|Z+2-2i|的最小值是C1，C2连线的长为4与1的差，即为3.【考点】复数模的几何意义及数形结合的思想方法，2．若，，且满足那么.【答案】1【解析】【详解】把已知条件变形为函数在上为增函数且是奇函数，另，故即，所以.3．设点O为三角形ABC内一点，且满足关系式：_____.【答案】【解析】【详解】将化为，.设M、N分别是AB、AC的中点，则.设△ABC的面积为S，由几何关系知，，，所以.4．过动点M作圆：22221xy的切线MN，其中N为切点，若MNMO（O为坐标原点），则MN的最小值是__________．第2页共9页【答案】728【解析】解答：由圆的方程可得圆心C的坐标为(2,2)，半径等于1.由M(a,b),则|MN|2=(a−2)2+(b−2)2−12=a2+b2−4a−4b+7，|MO|2=a2+b2.由|MN|=|MO|,得a2+b2−4a−4b+7=a2+b2.整理得：4a+4b−7=0.∴a，b满足的关系为：4a+4b−7=0.求|MN|的最小值，就是求|MO|的最小值。在直线4a+4b−7=0上取一点到原点距离最小，由“垂线段最短”得，直线OM垂直直线4a+4b−7=0，由点到直线的距离公式得：MN的最小值为：22772844.5．欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有_____种上楼梯的方法.【答案】21【解析】【详解】本题采用分步计数原理.第一类：0次一步跨上2阶楼梯，即每步跨上一阶楼梯，跨7次楼梯，只有1种上楼梯的方法；第二类，1次一步跨上2阶楼梯，5次每步跨上一阶楼梯，跨6次楼梯，有种方法；第三类：2次一步跨上2阶楼梯，3次每步跨上一阶楼梯，跨5次楼梯，有种方法；第四类：3次一步跨上2阶楼梯，1次每步跨上一阶楼梯，跨4次楼梯，有种方法；共计21种上楼梯的方法.6．已知棱长的正方体内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线为轴，则该圆柱体积的最大值为_____.【答案】【解析】【详解】由题意知只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况.由图形的对称性可知，圆柱第3页共9页的上底面必与过A点的三个面相切，且切点分别在、AC、上.设线段上的切点为E，圆柱上底面中心为，半径.由得，则圆柱的高为，，由导数法或均值不等式得.7．若实数x、y、z满足，，则_____.【答案】【解析】【详解】由柯西不等式得，由已知得，，所以有，化简得，即、为方程的两根，由韦达定理得.8．在△ABC中，，，则△ABC的面积最大值为_____.【答案】3【解析】【详解】由正弦定理将变形为，其中.以线段AC所在直线为x轴，以AC的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，由得两边平方整理得因为，所以上述方程可化为为由此可知点B的轨迹是以为圆心，以为半径的圆.所以当点B在圆上运动时，点B到x轴的最大距离为半径，所以的面积在上单调递减，所以.二、解答题9．已知将函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，且关于x的方程第4页共9页在内有两个不同的解、.（1）求满足题意的实数m的取值范围；（2）求（用含m的式子表示）.【答案】（1）（2）【解析】【详解】（1）将的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象.再将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象.故，..依题意在区间内有两个不同的解，当且仅当.故m的取值范围是.（2）因为是方程在内的两个不同的解，所以，.当时，，即.当，，即.所以.10．已知数列满足：，.记，求的值。【答案】【解析】【详解】因为，所以.所以，故.又，所以，所以，第5页共9页故.因此.11．如图，椭圆（ab0）的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点.当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°.（1）求该椭圆的离心率；（2）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D、E两点.记△GDF的面积为，△OED（O坐标原点）的面积为.求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【详解】（1）依题意，当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60°.设，则.将代入，得.所以椭圆的离心率.（2）由（1）知，椭圆方程可设为，设，.依题意，直线AB不能与x、y轴垂直，故设直线AB的方程为，将其代入，整理得.则.所以.第6页共9页因为，所以.因为，所以.所以的取值范围是.12．判断曲线与曲线的公切线的条数，并说明理由.【答案】曲线与曲线有两条公切线.【解析】【详解】曲线与曲线有两条公切线.理由如下：设两曲线的公切线为l，与曲线切于点，与曲线切于点，则直线l的方程既可写为，即，又可写为，即.因为直线l为公切线，所以有消元整理得，所以方程根的个数即为两曲线的公切线条数.设，，.当时，，为增函数；当时，，为减函数.另外当时，，，所以的根为.第7页共9页所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.而，，，，又函数在R上连续，所以函数有两个零点，分别位于区间和区间内.所以方程有两个不同的根，即两曲线有两条公切线.13．已知三棱锥S-ABC中侧棱SA、SB、SC互相垂直，M是底面三角形ABC内一动点.直线MS与SA、SB、SC所成的角分别是.（1）证明：不可能是锐角三角形的三个内角；（2）设，证明：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】（1）以线段MS为体对角线构造长方体，则恰好为长方体的体对角线与从一个顶点出发的三条棱所成的角，因此.因为，所以，，故.所以.下面证明.要证，只需证，只需证，只需证.因为，所以，故不可能是锐角三角形的三个内角.（2）因为第8页共9页，所以.14．如图，设△ABC的外接圆为，的角平分线与BC交于点D，M为BC的中点.若△ADM的外接圆分别于AB、AC交于P、Q，N为PQ的中点，证明：.【答案】见解析【解析】【详解】如图.设AB=c，BC=a，AC=b.由.类似地，.第9页共9页于是，.联结BP、CQ，并设X、Y分别为其中点.则.类似地，.故四边形NYMX为平行四边形.由，知四边形NYMX为菱形.从而，MN平分∠XNY.又AD平分∠BAC，因此，AD∥MN.