高考线性规划题型归纳

1线性规划常见题型及解法一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题例1、设变量x、y满足约束条件1122yxyxyx，则yxz32的最大值为。解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。习题1、若x、y满足约束条件222xyxy，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题例2、已知1,10,220xxyxy则22xy的最小值是.图2xyO22x=2y=2x+y=2BA2解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22xy表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A（1，2）是满足条件的最优解。22xy的最小值是为5。点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。习题2、已知x、y满足以下约束条件220240330xyxyxy，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，45D、13，255解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选C练习2、已知x，y满足0320,1052yxyxyx，则xy的最大值为___________，最小值为____________．2，0三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题例3、在平面直角坐标系中，不等式组20200xyxyy表示的平面区域的面积是（）(A)42(B)4(C)22(D)2解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20200xyxyy表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：11||||424.22SBCAO从而选Ｂ。2x+y-2=0=5x–2y+4=03x–y–3=0OyxA3点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。习题3、不等式组260302xyxyy表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B四、已知平面区域，逆向考查约束条件。例4、已知双曲线224xy的两条渐近线与直线3x围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）(A)0003xyxyx(B)0003xyxyx(C)0003xyxyx(D)0003xyxyx解析：双曲线224xy的两条渐近线方程为yx，与直线3x围成一个三角形区域（如图4所示）时有0003xyxyx。点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。习题4、如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是（）A．232600yxyxB．232600yxyxC．232600yxyxD．232600yxyxC五、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。2x+y–6=0=5x＋y–3=0OyxABCMy=24例5、在约束条件0024xyyxsyx下，当35s时，目标函数32zxy的最大值的变化范围是（）A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]解析：画出可行域如图3所示,当34s时,目标函数32zxy在(4,24)Bss处取得最大值,即max3(4)2(24)4[7,8)zsss;当45s时,目标函数32zxy在点(0,4)E处取得最大值,即max30248z,故[7,8]z,从而选D;点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230230xymxym由右图可知3330mm,故0＜m＜3，选C习题6、不等式3|2|myx表示的平面区域包含点)0,0(和点),1,1(则m的取值范围是（）A．32mB．60mC．63mD．30mA七、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。CO2x–y=0y2x–y+3=05例7、已知变量x，y满足约束条件1422xyxy。若目标函数zaxy（其中0a）仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为。解析：如图5作出可行域，由zaxyyaxz其表示为斜率为a，纵截距为ｚ的平行直线系,要使目标函数zaxy（其中0a）仅在点(3,1)处取得最大值。则直线yaxz过Ａ点且在直线4,3xyx（不含界线）之间。即11.aa则a的取值范围为(1,)。点评：本题通过作出可行域，在挖掘az与的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。习题7、已知x、y满足以下约束条件5503xyxyx，使z=x+ay(a0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D八、研究线性规划中的整点最优解问题例8、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件.112,932,22115xyxyx则1010zxy的最大值是(A)80(B)85(C)90(D)95解析：如图７，作出可行域，由101010zzxyyx，它表示为斜率为1，纵截距为10z的平行直线系,要使1010zxy最得最大值。当直线1010zxy通过119(,)22Azx+y=5x–y+5=0Oyxx=36取得最大值。因为,xyN，故Ａ点不是最优整数解。于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，max90.Z点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。九、求可行域中整点个数例9、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)xyxyxyxyxyxyxyxy作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选C习题9、不等式3yx表示的平面区域内的整点个数为（）A．13个B．10个C．14个D．17个AxyO