五自由度串联机器人的分析

1项目名称：五自由度机械手（节点五）成员：吴军、庞洪忠课程名称：机器人学指导老师：赵永生、许允斗日期：2011年12月28日2目录一、绪论1.1项目背景简介1.2课题主要研究内容二、静力学和刚度分析的课题综述2.1引言2.2静力学和刚度分析基础2.2.1隔离体图和静力平衡条件2.2.2静力平衡方程2.2.2.1构件的静力平衡方程2.2.2.2迭代求解方法2.2.3基于虚功原理的静力学分析2.2.4静刚度分析三、静力学分析3.1引言3.2连杆的受力和力雅克比推导四、刚度和柔度4.1引言4.2连杆的变形小结参考文献3第一章绪论1.1项目背景简介我们研究的项目是分析五自由度机械手的静力学和静刚度。求得各关节驱动力与外力之间的关系，并利用运动雅克比矩阵验证其正确性。然后求得五自由度机械手的刚度和柔度矩阵。节点一的同学已经用UG建立了三维实体模型，并实现了各关节的运动学仿真。通过在各关节处建立运动学坐标系，列出了各连杆参数，对五自由度串联机器人进行位置正反解。节点二的同学已经利用D-H建系的结果，用矢量叉积法和微分变换法写出雅可比矩阵方程并求出了结果，并利用二者之间的关系对结果进行验证。节点三的同学已经建立了工作空间的和并对机器人进行了奇异位形分析。在此基础上，我们查阅大量的国内外资料，对研究串联机器人的静力学和静刚度的方法有了一定的了解，而且我们要运用以上同学的结果，对机器人进行静力学分析，并验证得到的结果与节点二的结果相同，再得到机器人的刚度和柔度矩阵。与此同时，我们还要继续查阅资料，力求寻找到一种新的方法，用来更简便的方法对机器人进行静力学和静刚度分析。1.2课题主要研究内容（1）大量查阅国内外关于求解项目组所研究的串联机器人的静力学和静刚度的方法，并撰写文献综述；（2）分析机器人机构的静力学，求得各关节驱动力与外力之间的关系，并利用运动雅克比矩阵验证其正确性；（3）分析机器人的静刚度，求得刚度和柔度矩阵；4第二章静力学和刚度分析的课题综述2.1引言本章研究串联机器的静力学和刚度。机器工作时，末端执行器必然要对外界施加一定的力和力矩，而这些均由关节来提供。对于串联机器，驱动力通过一个开环运动链传递；对于并联机器，驱动力通过几个并联路径传递到末端执行器。它们的研究方法有一定的不同。机器的静力学是在假设机器不发生运动时，研究各关节和末端执行器所承受的力和力矩之间的关系，包括大小和方向。静力学分析对确定机器各构件和轴承的尺寸，以及确定合适的驱动器是必需的，是机器人柔顺控制（compliancecontrol）的基础。本章中，为简化描述，我们使用关节力和操作力这样的术语来表示关节和终端上的力和力矩。本章首先介绍机器人静力学分析的一些基础知识，包括：构件隔离体图和静力平衡方程，基于不同坐标系下的构件静力平衡方程，基于虚功原理的静力学分析方法。然后又介绍了理想静刚度矩阵和静刚度的有限元分析的方法。2.2静力学和刚度分析基础这一部分主要介绍机器人静力学和刚度分析的一些基础方法和概念，包括，机构的隔离体图，静力平衡方程，基于不同坐标系的构件静力平衡方程，虚功原理，刚度和柔度矩阵。2.2.1隔离体图和静力平衡条件在静力学研究中，建立隔离体图(free-bodydiagram)是一个相当基础且重要的分析手段。它的主要思想是：将机构中的一个零件或部件与其它零部件假想分离，将它作为一个独立的单元进行分析。一个隔离体可以包含一个或多个零件，同一个机构，根据需要可以建立称多个隔离体。图2.1()a是一个四杆机构，将固定构件称为构件0，构件011223oooooo、和称为构件1、2和3。图2.1()b中的隔离体包含3个运动构件，作用于隔离体上的力包括一个驱动力矩和一个外力负载，以及固定构件通过关节o立的单元进行分析。一个隔离体可以包含一个或多个零件，同一个机构，根据需要可以建立多个隔离体。图2.1()a是一个四杆机构，将固定构件称为构件0，构件01122303ooooooo、和和施加的力和。这里，符号表示构件i施加于构件j上的力。图2.1()()cd和分别是包含2个和1个运动构件的隔离体图。如果要考察构件的内力，可以将构件假想分割成几个部分，建立隔离体图，如图2.1()e所示。5图2.1平面四杆机构的隔离体图对于一个处于静力平衡的隔离体，所有外力的矢量和应等于0，相对于任意点的所有力矩的矢量和也必须等于0。这个条件称为静力平衡条件，可表示为0f(2.1)0m(2.2)对于平面机构，式(2.1)和(2.2)包含了3个标量方程。对于空间机构，上述方程包含了6个标量方程。求解这些方程就可以获得所有关节上的力和力矩。2.2.2静力平衡方程2.2.2.1构件的静力平衡方程在开环机构中，每个构件均通过关节与1个或2个其它构件相连接，下面就根据上节介绍的静力平衡条件，推导构件上的静力平衡方程。图2.2表示作用于一个典型构件上的力和力矩。构件i通过关节i和分别与构件1i和1i相连。可以将构件i对构件1i的作用归结为关于坐标系io原点io的合力1,iif和合力矩1,iim。同样，构件1i作用于构件i上的力可以归结为关于坐标系1io原点1io的力,1iif和力矩,1iim。图2.2作用于构件i上的力和力矩61,iif：构件i基于io点施加于构件1i上的合力，显然，,11,iiiiff。1,iim：构件i基于io点施加于构件1i上的合力矩，,11,iiiimm。g：重力加速度矢量。im：构件i的质量。cir：构件i的质心相对于io的位置矢量。ir：坐标系io原点io相对于坐标系1io的位置矢量。如图1.2所示，作用于构件i的力包括,1iif、,1iif和img。力的平衡方程可以写为,1,10iiiiiffmg(2.3)作用于构件i的力矩有两个：,1iim和,1iim。另外，错误!未找到引用源。和img分别对点io产生力矩。因此，基于io点的力矩平衡方程可写为,1,1,10iiiiiiiciimmrfrmg(2.4)1,iif和1,iim被称为构件i和构件1i之间的作用力（reactionforce）和作用力矩（reactionmoment）。当0i时，1,0f和1,0m表示基础构件作用于第一个运动构件的力和力矩。当in时，1,nnf和1,nnm表示末端执行器对外界的输出力和力矩。对于每一个运动构件，重复使用式(2.3)和(2.4)一次。如果机构具有n个构件，就会产生2n个矢量方程，这时，方程具有22n个变量，因此，必须事先知道其中的两项，方程组才能求解。例如，当给定操作任务求解关节力时，1,nnf和1,nnm是给定的矢量。为方便起见，通常将构件之间的作用力和力矩组合成一个6维矢量，如,1,1,1iiiiiifFm(2.5),1iiF被称为在1io处构件1i作用于构件i的一个力螺旋（wrench）。2.2.2.2迭代求解方法本节介绍一种静力分析的迭代方法。这种方法一次只针对一个构件，求解其作用力和力矩，而不需要同时求解2n个矢量方程。为便于分析，将式(1.3)和(1.4)写成如下的迭代形式：,11,iiiiiffmg(2.6),11,,1iiiiiiiciimmrfrmg(2.7)式(2.6)和(2.7)均被表示在固定坐标系下。但通常情况下ir和cir都是在构件坐标系下指定的，就需要利用构件的旋转矩阵进行变换，即：70iciicirRr(2.8)0iiicirRr(2.9)当给定输出力和力矩时，就可以根据式(2.6)和(2.7)，从in开始，一次计算一个构件上的作用力和力矩，依次计算出全部构件上的作用力和力矩。同样，也可以基于某一个构件坐标系来计算构件间的作用力和力矩，这时，式(2.6)和(2.7)就表示为,11,iiiiiiiiffmg(2.10),1,11,iiiiiiiiiiiiiciimmrfrmg(2.11)只要得到了基于构件i坐标系下的作用力，就可以根据构件坐标系之间的旋转矩阵将其转化为构件1i坐标系下的矢量，形式如下：11,1,1iiiiiiiifRf(2.12)11,1,1iiiiiiiimRm(2.13)式(2.10)和(2.11)中的ig是重力加速度矢量在构件i坐标系下的表示，通常g在固定坐标系下是已知的，也就是当0i时，0g已知，然后利用下式计算其它的ig：111,2,....,iiiigRgin(2.14)同样，如果输出力和力矩是在固定坐标系下给定的，就必须将其按照下式转化为基于终端坐标系的矢量：01,01,nnnnnnfRf(2.15)01,01,nnnnnnmRf(2.16)只要求出了构件间的作用力，各驱动器产生的驱动力和力矩就可以很容易确定。对于移动关节，驱动力沿关节轴线方向，假设关节间的摩擦力忽略不计，驱动力i可按下式计算：1,1Tiiiif(2.17)式中，1i是指向第i个关节轴的单位矢量。从式(2.17)可看出，驱动器仅仅承受,1iif中沿关节轴线方向的一部分力，而,1iif中的另外一部分力则由关节轴承来承担。同样，对于一个旋转关节，驱动器施加一个相对于关节轴线的力矩，可表示为:1,1Tiiiim(2.18)与移动关节类似，驱动器只承受,1iim中沿关节轴线方向的一部分力矩，其它的部分则由轴承来承8担。在式(2.17)和(2.18)中得到的i统一被称为等效关节力矩（equivalentjointtorque）。2.2.3基于虚功原理的静力学分析本节引入虚功原理来阐述关节力和操作力之间的关系。一个系统的虚位移是，在外力作用下，系统位形可能发生的微小变化。由于位形的这种微小变化可能发生，也可能不发生，因此被称为虚位移，以区别于由于外力或约束发生变化而产生的实际位移。一般用符号x来表示虚位移，以区别于实际位移的符号dx或x。对于一个机器，各关节处的虚位移可表示为12,,...nqqqq末端执行器的虚位移可表示为12,...nxxxx。设操作力由终端输出的力和力矩组成，可表示为,TTTFfm(2.19)关节力矩矢量为12,,...Tn(2.20)假设，各关节处的摩擦力忽略不计，也就是所有的关节均看做是理想关节，所有的约束均为理想约束，则各关节处的约束反力所做的虚功总和等于零。这样，假如忽略重力的影响，机构所有主动力做的虚功为TTwqFx(2.21)根据虚功原理，假如一个系统处于平衡，对于任意虚位移，作用于系统上的所有外力的虚功之和等于零。根据前面介绍的机构微分运动学，q和x不独立，存在以下关系xJq(2.22)式中，J为机构在该瞬时的正向Jacobian矩阵。将式(2.22)代入式(2.21)，可得)0TTFJq(2.23)上式对于任意虚位移q均成立，所以可得0TTFJ(2.24)对上式取转置，可得TJF(2.25)方程(2.25)反映了操作力矢量和关节力矢量之间的关系。由于Jacobian矩阵是依赖于机构位形的，这种映射关系也依赖于机构位形。2.2.4静刚度分析静载荷下抵抗变形的能力称为静刚度。静刚度一般用结构的在静载荷作用下的变形多少来衡9量；计算刚度的理论分为小位移理论和大位移理论。大位移理论根据结构受力后的变形位置建立平衡方程，得到的结果精确，但计算比较复杂。小位移理论在建立平衡方程时暂时先假定结构是不变形的，由此从外载荷求得结构内力以后，再考虑变形计算问题。首先作如下假设：1.机构中各构件均为刚体，不发生变形。2.关节处的摩擦力忽略不计，所有关节处的约束均为理想约束。3.忽略各运动构件重力的影响。4.机器的变形只来源于传动系统和伺服系统。设12,,...Tn为机构主动关节力矩矢量，12,,...Tnqqqq是主动关节处