一元二次、分式、高次不等式解法、复合函数

1一元二次不等式的解法教学目的：掌握一元二次不等式的解法，能应用一元二次不等式、对应方程、函数三者之间的关系解决综合问题．教学重点：利用二次函数图象研究对应不等式解集的方法教学难点：弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系．教学过程;一、一元二次不等式的解法问题1：解方程作函数的图像解不等式问题2：画的图像，写出对应不等式和方程的解【答】方程的解集为不等式的解集为归纳：下面我们再对一般的一元二次不等式与来进行讨论。为简便起见，我们只考虑的情形例题1．解下列不等式：（1）（2）（3）（4）2变式练习．1若代数式的值恒取非负实数，则实数x的取值范围是。归纳：△＞0时1、化二次项系数为正，2、求两根，3、＞取两边＜取中间。△≤0时结合图像分析例2．已知2{|320}Axxx，2{|(1)0}Bxxaxa，（1）若AB，求a的取值范围；（2）若BA，求a的取值范围．二、含参数的一元二次不等式例3解关于x的不等式。分析：对含参数的一元二次不等式的讨论顺序一般：1、讨论二次项系数，2、对“△”进行讨论（若能因式分解则不要讨论）3、对根的大小进行比较。含参数的一元二次不等式与不含参数的一元二次不等式的解题过程实质是一样的，结合二次函数的图象、一元二次不等式分类讨论。练习、解关于x的不等式)0(,04)1(22axaax课后练习1．解下列不等式：（1）260xx；（2）23100xx2.已知2()2(2)4fxxax，如果对一切xR，()0fx恒成立，求实数a的取值范围。3.解不等式3高次不等式、分式不等式解法教学目的：掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法；教学重点：简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法教学难点：正确串根。二、新课⒈一元二次不等式与特殊的高次不等式解法例1解不等式0)1)(4(xx.分析一：利用前节的方法求解；分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等式的解集是下面两个不等式组：0401xx与0401xx的解集的并集，解：∵(x-1)(x+4)00401xx或0401xxx∈φ或-4x1-4x1，∴原不等式的解集是{x|-4x1}.分析三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x（从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x轴分为三部分：（-，-4）（-4，1）（1，+）；②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号（-，-4）（-4，1）（1，+）x+4-++x-1--+(x-1)(x+4)+-+③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4x1}.④结合表格可以得到大致图像，可得原不等式的解集是{x|-4x1}.例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)0；解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：-2，1，3；③④由上图可知，原不等式的解集为：{x|-2x1或x3}.串根法：①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)0(0)形式，并将各因式x的系数化“+”；②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点。注意：奇穿偶不穿4④若不等式（x的系数化“+”后）是“0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“0”,则找“线”在x轴下方的区间.例3解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)0.练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)0.解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)0.原不等式的解集是{x|-1x3或x=-2}.说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉.2．分式不等式的解法例4解不等式：073xx.说明：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)0，则不等式解集中应注意x-7的条件，解集应是{x|-7x3}.小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x，不等式两边同乘以一个含x的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.解法是：移项，通分，右边化为0，左边化为)x(g)x(f的形式.例5解不等式：0322322xxxx.，练习：解不等式：123422xxxx.（答：{x|x0或1x2}）5三、小结1．特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律作；②注意边界点（数轴上表示时是“0”还是“.”）.2．分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为)x(g)x(f0(或)x(g)x(f0)的形式，转化为：)0)(0)()((0)(0)()(xgxgxfxgxgxf或，即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式.思考题：解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)0.解：①将二次项系数化“+”为：(x2-x-12)(x+a)0，②相应方程的根为：-3，4，-a，现a的位置不定，应如何解？③讨论：ⅰ当-a4，即a-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x|-3x4或x-a}.ⅱ当-3-a4，即-4a3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x|-3x-a或x4}.ⅲ当-a-3，即a3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x|-ax-3或x4}.ⅳ0当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x|x-3}.ⅴ当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x|x4}.2：解关于x的不等式0212xxax分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对ax－1中的a进行分类讨论求解，还需用到序轴标根法。解：原不等式等价于0)1)(2)(1(xxax当a=0时，原不等式等价于0)1)(2(xx解得21x，此时原不等式得解集为{x|21x}；6当a0时,原不等式等价于0)1)(2)(1(xxax,则：当,21时a原不等式的解集为21|xxx且；当0,21时a原不等式的解集为211|xaxx或；当,21时a原不等式的解集为211|xaxx或；当a0时,原不等式等价于0)1)(2)(1(xxax，则当1a时,原不等式的解集为12|xxx且；当01a时,原不等式的解集为211|xaxx或；当1a时,原不等式的解集为211|xaxx或；小结：⑴本题在分类讨论中容易忽略a=0的情况以及对a1，－1和2的大小进行比较再结合系轴标根法写出各种情况下的解集。⑵解含参数不等式时，一要考虑参数的取值范围，二要用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏。⑶对任何分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段，把不等号一边化为0，再转化为乘积不等式来解决。课后作业：1、解不等式0)2)(54(22xxxx2、解不等式0)2)(1()1()2(32xxxx3、解不等式1116xx7复合函数的定义域和值域教学目的：掌握简单的复合函数的定义域和值域求法教学重点：复合函数定义域、值域教学过程函数概念及其定义域函数的概念：设是,AB非空数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数()fx和它对应，那么就称:fAB为集合A到集合B的函数，记作：(),yfxxA。其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值.复合函数的定义一般地：若)(ufy，又)(xgu，且)(xg值域与)(uf定义域的交集不空，则函数)]([xgfy叫x的复合函数，其中)(ufy叫外层函数，)(xgu叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如:2()35,()1fxxgxx；复合函数(())fgx即把()fx里面的x换成()gx，22(())3()53(1)538fgxgxxx问：函数()fx和函数(5)fx所表示的定义域是否相同？为什么？答：不相同；原因：定义域是求x的取值范围，这里x和5x所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了复合函数的定义域求法、关键是正确分析函数的复合层次，由里向外或由外向里逐层解决。例1已知f(x)的定义域为[0，1）若，则函数的定义域是________。例2已知函数f(x)的定义域为（1，3]，求函数的定义域(a0)。例3已知()fx的定义域为3,5，求函数(32)fx的定义域；练习：已知)(xf的定义域为]30(，，求)2(2xxf定义域。8例4若函数xf23的定义域为2,1，求函数xf的定义域例5已知)1(xf的定义域为)32[，，求2xf的定义域。总结1.已知)(xf的定义域，求复合函数][xgf的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(xf的定义域为bax,，求出)]([xgf中bxga)(的解x的范围，即为)]([xgf的定义域。2.已知复合函数][xgf的定义域，求)(xf的定义域方法是：若][xgf的定义域为bax,，则由bxa确定)(xg的范围即为)(xf的定义域。3.已知复合函数[()]fgx的定义域，求[()]fhx的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由][xgf定义域求得xf的定义域，再由xf的定义域求得][xhf的定义域。4.已知()fx的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。练习：1、指出下列复合函数分别是怎样复合而成的（1）2331xxy（2）101101xxy（3）211yxx（4）2412xxy2、2．求复合函数的值域。关键是由里向外，逐层解决。例求函数2212xxy的值域的定义域求的定义域已知)52(,5,1)12(xfxf9解：原函数由22uxx，12uy复合而成第一步：先求函数22uxx的值域.用配方法:222111uxxx得1u，第二步：再求函数1,12uyu的值域.y结合指数函数的图像得1,12uyu函数的值域为0,21Ou所以函数2212xxy的值域为0,2练习：1、函数的值域是（）（A）（B）[0，4]（C）（D）2、求函数的值域。3、求函数11()()142xxy在3,2x上的值域。课后作业1、求函数)5,0[,)31(42xyxx的值域。2、函数2log31xfx的值域3、函数0.51log(43)yx的定义域4、若函数(1)fx定义域为(3,4]，则函数()fx的定义域为10复合函数的单调性和奇偶性教学目标：1.使学生理解复合函数的概念，并能判断一些符合函数在其定义域内的单调性2.：通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的思想教育教学重点：复合函