24.5相似三角形的性质(全)

课前复习:1、什么叫相似三角形？什么是它们相似比?三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形,叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做它们的相似比.ABCA/B/C/①相似三角形的对应角__________②相似三角形的对应边__________想一想:它们还有哪些性质呢?课前复习:2、相似三角形有何特征？成比例相等一个三角形有三种重要线段：如果两个三角形相似，那么这些对应线段有什么关系呢？情境引入高、中线、角平分线学习目标1、在理解相似三角形特征的基础上，掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积的比等性质.2、通过实践体会相似三角形的性质，会用性质解决相关的问题.ACBA′B′C′DD21（1）ABC∽ΔABC12相似比为ADAD对应中线的比ACBA′B′C′D21（2）DABC∽ΔABC12相似比为ADAD对应高的比，ACBA′B′C′DD21（3）ABC∽ΔABC12相似比为ADAD对应角平分线的比放大前放大后在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比,三角形的边长,周长,面积,角,哪些放大为10倍?ΔABC与ΔA’B’C’的相似比是多少？ΔABC与ΔA’B’C’的周长比是多少?面积比是多少？4×4正方形网格如图，ΔABC与ΔA’B’C’有什么关系？为什么？试问：是不是任意相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？2周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方√102√21√5√2ABCA’C’B’22预习提纲：1、阅读课本P146、P147、P1482、你能得出相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比、面积的比是什么？3、你能证明相似三角形的性质？对应高的比对应中线的比对应角平分线的比周长的比相似三角形等于相似比.面积的比等于相似比的平方相似三角形的性质证明：∵△ABC∽△DEF.∴∠B=∠E,相似三角形对应中线的比等于相似比.(相似三角形对应边成比例).ABCMDEFN.DEABDNAM.EFBCDEAB又∵AM,DN分别是△ABC和△DEF的中线.,2ENEF,BM2BC∴△ABM∽△DEN.()..ENBMDEAB且∠B=∠E.☞推导性质求证：已知：△ABC∽△DEF.AM、DN分别为中线.DEABDNAM证明：∵△ABC∽△DEF.∴∠B=∠E,∠BAC=∠EDF.又∵AM,DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线.∴∠BAM=1/2∠BAC，∠EDN=1/2∠EDF，∴∠BAM=∠EDN.∴△AMB∽△DNE.(两角对应相等的两个三角形相似).相似三角形对应角平分线的比等于相似比.(相似三角形对应边成比例).ABCMDEFN.DEABDNAM☞推导性质求证：已知：△ABC∽△DEF.AM、DN分别角平分线.DEABDNAM相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.相似三角形性质定理1☞相似三角形周长的比等于相似比。已知：求证：''''''''BAABACCBBACABCAB'''CBAABC∽△△证明：'''CBAABC∽△△∵∴''''''ACCACBBCBAAB∴''''''''BAABACCBBACABCAB(相似三角形对应边成比例)(等比性质)ACBB′A′C′☞推导性质ABCA’B’C’证明：∵ΔABC∽ΔA/B/C/，相似比为kkCAACCBBCBAAB//////∴AB=kA/B/，BC=kB/C/，AC=kA/C/（相似三角形的对应边成比例）/////////CACBBAACBCABCBAABC的周长的周长kCACBBACACBBAk)()(////////////相似三角形的周长比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方。求证：22''CBBCSSCBAABC’’’ABCA′B′C′DD′证明：分别过A、A′，作AD⊥BC于D，'''''DCBDA于作∴∵''''2121CBDABCADSSCBAABC’’’∴''''CBBCDAAD22''''''CBBCCBBCCBBC∴☞推导性质已知：'''CBAABC∽△△'''CBAABC∽△△（）相似三角形对应高的比等于相似比相似三角形的周长的比等于相似比.相似三角形性质定理2ABCA’B’C’∵ΔABC∽ΔA’B’C,’相似比为k.=k2k，∴ΔABC的周长ΔA’B’C’的周长=sABCsA’B’C’几何表述:相似三角形性质定理3面积比等于相似比的平方☞☞例1已知：△ABC∽△A’B’C’，它们的周长分别是48cm和60cm，且AB=12，B’C’=25，求BC、A’B’．例2如图，△ABC中，点D点E分别在AB和AC上，DE//BC,DE=6,BC=9,且求16ADESABCSABCDE24.5(2)1.两个相似三角形的相似比为1：4，则对应边的高的比为______，对应角的平分线的比为_______,周长的比为______,面积的比为_______.2.已知△ABC∽△A’B’C’，对应边的中线之比为3:2，△A’B’C’的周长为24cm，面积为18c㎡,则=_______，△ABC的周长等于______cm，△ABC的面积为_____c㎡.''ABAB3．如图，△ABC中，DE//BC,AD:BD=4:3,则DE:BC=_______,=______.AEDBCEDSSABCDE例题1BDADCDABADACRtACBABCDABC22)2(;1,）求证（上的高，是中，在24.5(3)例2已知点D和E在△ABC的AB和AC上，1//,,163ABCDEDEBCDBCEBCS四边形的面积为，求CBEDA1.某时刻量得一棵树AB在地面上的影子长BE=30米，同时测得在BE方向上竖起的一根与地面垂直的标杆CD的影长DF为3米，已知标杆高DC=2米，则树AB的高度是.BDEFCA2.竿高1.5米，影长1米，同一时刻，某塔影长20米，则塔高是_________米.3.已知DE//BC,CD与BE相交于点O，并且S△DOE：S△COB=4：9则AE:AC=（）.(A)4:9(B)16:81(C)2:3(D)l:2OEDCBA拓展：已知：如图，梯形ABCD中，CD//AB，∠ABC的平行线BE⊥AD于E，且求21AEDEBCDEABESS四边形的长求上，和在分别和点中，在CDBAPDBPACBCDPBCACABABC,,12,16,10PDCBA例124.5(4)例2如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？例3如图，△ABC中，DE//FG//BC，点DE、FG把△ABC的面积分成三等分，已知BC=12cm，求FG的长.练习2如图△ABC中，AD⊥BC于D，FGHI为矩形，BC=36cm，AD=12cm，求矩形FGHI的周长.95GHFG练习1P39：1练习3如图△ABC中，DE//FG//BC，且AD=DF=BF.求S△ADE：S四边形DFGE：S四边形BFCG练习4P39：2△ABC中，有一个内接正三角形DEF，点D、E、F分别在AB、CA、BC上，且DE//BC，已知BC=4cm，BC上的高为AH=6cm.求DE的长.拓展填一填1、相似三角形对应边的比为2∶3,那么相似比为________,对应角的角平分线的比为.2∶32∶32、两个相似三角形对应边上的高的比为1∶4,则它们周长的比为_______,面积的比为_______.1：41：16填一填3、两个相似三角形面积的比为4：9，则它们周长的比为______,对应高的比为______.2∶32∶3填一填4、△ABC∽△A1B1C1，AB=4，BC=5，AC=6，△A1B1C1的最大边长为15，那么它们相似比为______,△A1B1C1的周长是______.2∶5275△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，已知，B′D′=4cm，求BD的长.23CAAC''解：∵△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线（）∴BD=6ABCDA´B´C´D´（cm）相似三角形对应中线的比等于相似比∴＝ACA´C´BDB´D´32BD6＝做一做如图，小明自制了一个小孔成像装置，其中纸筒OD的长度为15cm，他准备了一枝长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？想一想如图，在⊿ABC中，矩形DEFG的一边DE在BC上，点G、F分别在AB、AC上，AH是BC边上的高，AH与GF相交于K，GF=18，EF=10，BC=48.⑴求AH的长；⑵若设EF=x，矩形EFGD的周长为y.写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围.KHGACBDEF拓展如图是一个照相机成像的示意图，如果底片XY宽35mm，焦距是50mm，能拍摄5m外的景物有多宽？拓广应用空间：35mm50mm5mXYABL请你谈谈对相似三角形性质的认识，让大家与你分享吧!全等三角形与相似三角形性质比较全等三角形相似三角形对应边____对应角______对应高______对应中线_____对应角平分线____对应边______对应角_____对应高的比等于__________对应中线的比等_________对应角平分线的比等于___相似比相似比相似比周长_____面积______周长的比等于____________面积的比等于____________相等相等相等相等相等相等相等成比例相等相似比相似比的平方课堂小结：如图，在ABCD中，若E是AB的中点，则(1)∆AEF与∆CDF的相似比为______.(2)若∆AEF的面积为5cm2，则∆CDF的面积为______.BFEDCACDAEk211:2，SSCDFAEF2)21(，SCDF415.20CDFS20cm2练一练如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，ABCDE53ABADACAE已知△ABC的面积为2100cm求四边形BCDE的面积。解：∵53ABADACAE，∠A=∠A∴ABCADE∽△△∴22ACAESSABCADE（相似三角形面积的比等于相似比的平方）∴2595322ABCADESS∵2100cmSABC∴259100ADES∴236cmSADE∴26436100cmSSSADEABCBCDE四边形(两边对应成比例,且夹角相等,两三角形相似)预习提纲：1、阅读课本P149、P1502、得出相似多边形周长的比、面积的比是什么？并推导.3、思考习题：P1524、P1536.•△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积。FEDCBA