中考数学分类(含答案)解直角三角形的应用

第1页共56页中考数学分类（含答案）解直角三角形应用一、选择题1．（2010辽宁丹东市）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m二、填空题1．（2010山东济宁）如图，是一张宽m的矩形台球桌ABCD，一球从点M（点M在长边CD上）出发沿虚线MN射向边BC，然后反弹到边AB上的P点.如果MCn，CMN.那么P点与B点的距离为.【答案】tantanmn2．（2010重庆市潼南县）如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为米（精确到0.1）.（参考数据：414.12732.13）【答案】82.03．（2010江西）如图，从点C测得树的顶角为33º，BC＝20米，则树高AB＝米（用计算器计算，结果精确到0.1米）ABCD··MN(第15题)第2页共56页【答案】0.134．（2010湖北孝感）如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是海里（不作近似计算）。【答案】365．（2010广东深圳）如图5，某渔船在海面上朝正方方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置。【答案】156．（2010广东佛山）如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的政务时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是米。（假设夏至的政务时刻阳光与地平面夹角为60°）第3页共56页【答案】37．（2010辽宁沈阳）若等腰梯形ABCD的上、下底之和为2，并且两条对角线所成的锐角为60°，则等腰梯形ABCD的面积为。【答案】3或338．（2010四川达州）如图5，一水库迎水坡AB的坡度1i︰3，则该坡的坡角=.【答案】30°（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）A．（53332）mB．（3532）mC．533mD．4m【答案】A9．（2010江苏宿迁）小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高了A．5200mB．500mC．3500mD．1000m【答案】A10．（2010浙江湖州）河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：3图5BAEDC30°第4页共56页（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（）A．53米B．10米C．15米D．103米【答案】A．三、解答题1．（2010安徽省中中考）若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是600，船的速度为5米/秒，求船从A到B处约需时间几分。（参考数据：7.13）【答案】2．（2010安徽芜湖）（本小题满分8分）图1为已建设封项的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D点的距离为5m，每层楼高3.5m，AE、BF、CH都垂直于地面，EF＝16cm，求塔吊的高CH的长．解：第5页共56页【答案】3．（2010广东广州，22，12分）目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图8所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．（1）求大楼与电视塔之间的距离AC；（2）求大楼的高度CD（精确到1米）45°39°DCAEB【分析】（1）由于∠ACB＝45°，∠A＝90°，因此△ABC是等腰直角三角形，所以AC＝AB＝610；（2）根据矩形的对边相等可知：DE＝AC＝610米，在Rt△BDE中，运用直角三角形的边角关系即可求出BE的长，用AB的长减去BE的长度即可．【答案】（1）由题意，AC＝AB＝610（米）；（2）DE＝AC＝610（米），在Rt△BDE中，tan∠BDE＝BEDE，故BE＝DEtan39°．因为CD＝AE，所以CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°≈116（米）答：大楼的高度CD约为116米．【涉及知识点】解直角三角形【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，难度一般不会很大，本题是基本概念的综合题，主要考查考生应用知识解决问题的能力，很容易上手，容易出错的地方是近似值的取舍．4．（2010甘肃兰州）（本题满分8分）如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°.已知原传送带AB长为4米.第6页共56页（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45)【答案】（1）如图，作AD⊥BC于点D……………………………………1分Rt△ABD中，AD=ABsin45°=42222……2分在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°∴AC=2AD=24≈6.5………………………3分即新传送带AC的长度约为6.5米．………………………………………4分（2）结论：货物MNQP应挪走．……………………………………5分解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=42222……………………6分在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=622324∴CB=CD—BD=)26(22262≈2.1∵PC=PB—CB≈4—2.1=1.9＜2………………………………7分∴货物MNQP应挪走．…………………………………………………………8分5．（2010江苏南京）（7分）如图，小明欲利用测角仪测量树的高度。已知他离树的水平距离BC为10m，测角仪的高度CD为1.5m，测得树顶A的仰角为33°.求树的高度AB。（参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）第7页共56页【答案】6．（2010江苏南通）（本小题满分9分）光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50m/min的速度向正东方向行走，在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上，20min后他走到B处，测得建筑物C在北偏西45°方向上，求建筑物C到公路AB的距离．（已知31.732）【答案】过C作CD⊥AB于D点，由题意可知AB=50×20=1000m，∠CAB=30°，∠CBA=45°，AD=CD/tan30°，BC=CD/tan45°，∵AD+BD=CD/tan30°+CD/tan45°=1000，解得CD=100031=500（31）m≈366m．7．（2010江苏盐城）（本题满分10分）如图所示，小杨在广场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D处的仰角为30º，然后他正对大楼方向前进5m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45º．若该楼高为26.65m，小杨的眼睛离地面1.65m，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐．求广告屏幕上端与下端之间的距离（3≈1.732，结果精确到0.1m）．北北ABC60°45°（第23题）第8页共56页【答案】解：设AB、CD的延长线相交于点E∵∠CBE=45ºCE⊥AE∴CE=BE………………………（2分）∵CE=26.65-1.65=25∴BE=25∴AE=AB+BE=30……………………………………………（4分）在Rt△ADE中，∵∠DAE=30º∴DE=AE×tan30º=30×33=103…………………（7分）∴CD=CE-DE=25-103≈25-10×1.732=7.68≈7.7(m)……………（9分）答：广告屏幕上端与下端之间的距离约为7.7m……………………（10分）（注：不作答不扣分）8．（2010山东青岛）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）（参考数据：oooo33711sin37tan37sin48tan48541010，，，）ABCDEABCDEA第9页共56页【答案】解：设CD=x．在Rt△ACD中，tan37ADCD，则34ADx，∴34ADx.在Rt△BCD中，tan48°=BDCD，则1110BDx，∴1110BDx.……………………4分∵AD＋BD=AB，∴31180410xx．解得：x≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米．…………………69．（2010四川凉山）如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45降为30，已知原滑滑板AB的长为4米，点D、B、C在同一水平地面上。（1）改善后滑滑板会加餐长多少米？（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由。（参考数据：21.414，31.732，62.449，以上结果均保留到小数点后第10页共56页两位）。【答案】10．（2010四川眉山）如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB．小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB．40m60°30°GFEDCBA【答案】解：在Rt△AFG中，tanAGAFGFG∴tan3AGAGFGAFG……………（2分）在Rt△ACG中，ABCD3045第20题图第11页共56页tanAGACGCG∴3tanAGCGAGACG…………（4分）又40CGFG即3403AGAG∴203AG…………………………（7分）∴2031.5AB（米）答：这幢教学楼的高度AB为(2031.5)米．（8分）40m60°30°GFEDCBA11．（2010浙江杭州）(本小题满分10分)如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P320千米处.(1)说明本次台风会影响B市；（2）求这次台风影响B市的时间.【答案】第12页共56页(1)作BH⊥PQ于点H,在Rt△BHP中,由条件知,PB=320,BPQ=30°,得BH=320sin30°=160200,∴本次台风会影响B市.---4分(2)如图,若台风中心移动到P1时,台风开始影响B市,台风中心移动到P2时,台风影响结束.由（1）得BH=160,由条件得BP1=BP2=200,∴P1P2=222160200=240,---4分∴台风影响的时间t=30240=8(小时).---2分12．（2010浙江嘉兴）设计建造一条道路，路基的横断面为梯形ABCD，如图（单位：米）．设路基高为h，两侧的坡角分别为和，已知2h，45，21tan，10CD．（1）求路基底部AB的宽；（2）修筑这样的路基1000米，需要多少土石方？【答案】1）作ABDE于E，ABCF于F，则2CFDE，在Rt△ADE中，∵45，∴2DEAE．ABCEDF（第21题）ABCD（第21题）第13页共56页在Rt△CFB中，∵21tan，∴21BFCF，∴42CFBF．在梯形ABCD中，又∵EF＝CD＝10，∴AB＝AE＋EF＋FB＝16（米）．…6分（2）在梯形ABCD中，∵AB＝16，10CD，2DE，∴面积为262)1610(