高斯函数

高斯函数与高斯积分及其简单应用（一）高斯函数的形式为22/)()(cbxaexf其中a、b与c为实数常数，且a0.函数图像如下：颐和园的拱桥高斯函数的应用非常广泛，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都有它的身影，这方面的例子包括：统计学与概率论中，高斯函数是正态分布的密度函数，根据中心极限定理它是复杂总和的有限概率分布。正态分布的密度函数：222)(exp21)(xxf式中，均为常数0,热学和统计物理中，麦克斯韦速率分布是高斯函数乘以一个速率的平方222/32exp24)(vkTmvkTmvf麦克斯韦速率分布函数：其中k为玻尔兹曼常量，m、T分别为气体分子质量及气体温度量子力学中，谐振子各能级波函数都包含一个高斯函数作为重要因子，以一维谐振子为例，一维谐振子的能量本征方程：)(21222222xExxmdxdm令ax/m21E（1）则方程（1）化为0)(222dd（2）理想的谐振子势是个无限深势阱，只存在束缚态，即：x在处，0)(x（3）当时，方程（2）近似表示为：0222dd（4）不难证明，2/2~e时，不妨令（4）的解为)(2/2ue可得，满足的方程：)(u0)1(222uuddudd（5）（6）此即Hermite方程，可在=0的邻域用幂级数展开求解。为保证束缚态边界条件，必须要求中断为一个多项式，可以证明只有当方程（6）中的参数满足如下条件，才有一个多项式解记为)(un21....2,1,0n)(nH其实上述要求就是对谐振子能量有一定的限制，即)2/1(nEEn...2,1,0n利用正交性公式：mnnnmndeHH！2)()(2可以证明，一维谐振子能量本征函数（实）为：)()(2/22xHeAxnxnn2/12/！nAnn（归一化常数）mnnmdxxx)()(最低的三条能级上的谐振子波函数如下：2/4/1022)(xex2/4/11222)(xxex2/224/1222)12(21)(xexx光学中，激光束光强在横截面上按高斯函数分布，称为高斯光束(二)高斯积分包含高斯函数的定积分称为高斯积分：01...)3,2,1,0(2nadxexAaxnn2xz作的变量变换，可将高斯积分写成另一种形式：012/...)3,2,1(21ndzezAaznn2/102/11221adzezAaz022121adzeAaz02/32/13421adzezAaz0242121adzzeAaz2/502/3583adzezAazn=1n=2n=3n=4n=5......................................dxexdxexaaxnaxn222将a看做变量求导：2nnAaA即这样一来就把高斯积分An用An-2表示出来，将n降了两级。连续使用这种方法，可把求所有奇数的An问题归结为求A1，偶数的An问题归结为求A2。A2很容易求出，可将不定积分：常数2221axaxeadxxe代入积分的上下限，即可得到上表A2的表达式可采用极坐标（r，），面元为rdrd202022AedrdrBar用直角坐标，我们有2100)(442222AdyedxedyedxBayaxyxa比较以上两式，得212AA)(222yxaaree被积函数为求A1（三）傅里叶变换周期函数可展成傅里叶级数，作频谱分解，对非周期函数作频谱分解则需进行傅里叶积分变换：2)()(dkekFxfikx2)()(dxexfkFikx正变换：逆变换：单一波数k的波列应该是无穷长的，任何有限长的波列经傅里叶分解，都包含一定范围内的波数，或者说，它的空间频谱有一定的宽度。一般来说，频谱宽度与波列长度是成反比的。看几个包络形式不同的波列：k1.方垒型波列{)(xfaxAexik,0ax,0它的傅里叶变换为：2/)(sin22)(02/2/)(0akkAadxekFaaxkki在处，F(k)=0，此范围内是频谱函数的“主极强”，外边它的数值就很小了。从而我们定义频谱的宽度为ak/4另一方面，波列的长度，古频谱宽度与波列长度成反比：ax4xk2.指数型波列xikxaeAexf0)(2200000)()()(122])(1)(1[2]22[)(00akkaAkkiakkiaAdxeedxeeAkFxkkiaxxkkiax傅里叶变换为：频谱是以k=k0为中心的洛伦兹型谱线，在k-k0=+a处数值见到峰值的一半。定义谱宽。波幅降到波峰的1/e=36%,定义波列长度为。故频谱宽度与波列长度成反比：ak2ax/1ax/22xk3.高斯型波列xikaxeAexf02)(傅里叶变换为：]4/)(exp[22]4/)(exp[2)(2020)(202akkaAdyeakkAdxeeAkFayxkkiax]2/)([0akkixy频谱是以k=k0为中心的高斯型谱线。高斯型谱线的宽度可用波数的方差来定义：axx212akkk2)(201kx频谱宽度与波列长度成反比：从以上几个例子可以看出，无论波列的包络形式如何，频谱宽度总是与波列长度成反比的，二者的乘积是个数量级为1的常数。高斯波包独特之处，就是它的频谱也是高斯型函数。（四）高斯光束高斯光束的瞬时辐照度电脑绘图在光学中，高斯光束（英语：Gaussianbeam）是横向电场以及辐照度分布近似满足高斯函数的电磁波光束。许多激光都近似满足高斯光束的条件，在这种情况里，激光在光谐振腔里以TEM00波模传播。当它在镜片发生衍射，高斯光束会变换成另一种高斯光束，这时若干参数会发生变化。高斯光束的波束能量分布具有轴对称性，设波束对称轴为z轴，在横截面上这种分布满足高斯函数：222yxe式中是到波束中心轴（z轴）的距离，当时，高斯函数的值迅速下降，因此，参数表示束的宽度。以u（x,y,z）代表电磁场的任一直角分量，设u具有如下形式：22yx22yxikzyxzfeezgzyxu))((22)(),,(令：))((22)(),,(yxzfezgzyx电磁场任一直角分量u（x，y，z）满足亥姆霍兹方程：022uku（1）（2）（3）亥姆霍兹方程的波束解把：ikzezyxzyxu),,(),,(代入，忽略22z项，得：022222zikyx（4）（5）把（2）代入（5）式，得：0]'2[]'2)[(222ikgfgikgfgfyx（6）可得，f、g满足方程：'2'22ikgfgikff（7）（6）的解为：zkiAzf21)(A为积分常数。g（z）的解为：zkAiuzg21)(0（8）（9）u0为另一积分常数。总可以选z轴的原点，是A为实数，取A为实数，可以把f（z）写成：)21()41(1)(222zkAiAkzAzf（10）20A令：（11）])2(1[)41()(20202222kzAkzAz（12）)21()(1)(202kizzzff（z）可写成：（13）)]21()(exp[20222))((22kizzyxeyxzf因此，（2）中的高斯函数为：函数g（z）的表达式（9）可写为：iieuekzuzg002200)2(1)(（14）)2arctan(20kz（15）将（13）（14）代入（2）（4）式得光束场强函数：])2(1[2)(),,(2202200222zkzyxkkzeeuzyxuiyx（16）（17）式中因子是相因子，其余的因子表示各点的波幅。因子ie222yxe是限制波束宽度的因子。波束宽度由函数w（z）代表。由（12）式，在z=0点，波束具有最小宽度，该处称为光束腰部。离腰部越远处波束的宽度越大。因子是在z轴上波的振幅。是波束腰部的振幅。因子表示当波束变宽后波幅相应减弱。00u0u0谢谢