函数的极限(定义及性质)

目录上页下页返回结束一、自变量趋于有限值时函数的极限自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:函数的极限（定义及性质）目录上页下页返回结束一、自变量趋于有限值时函数的极限1.时函数极限的定义Axfxx)(lim0或时,有当AAx0xy)(xfyAx0xy)(xfy几何解释目录上页下页返回结束2.左极限与右极限左极限:)(0xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00xxx时,有右极限:)(0xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00xxx时,有结论：Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00目录上页下页返回结束例.给定函数0,10,00,1)(xxxxxxf讨论0x时)(xf的极限是否存在.解:利用结论.因为)(lim0xfx)1(lim0xx1)(lim0xfx)1(lim0xx1显然,)0()0(ff所以)(lim0xfx不存在.xyO11xy11xy目录上页下页返回结束3.函数极限的性质保号性.若且A0,.0)(xf)0)((xf则存在(A0)极限的唯一性；局部有界性；局部保号性目录上页下页返回结束3.函数极限的性质保号性.若且A0,.0)(xf)0)((xf则存在(A0)极限的唯一性；局部有界性；局部保号性目录上页下页返回结束推论若在的某去心邻域内0)(xf)0)((xf,且则.0A)0(A思考:若条件改为,0)(xf是否必有?0A不能!如目录上页下页返回结束XXAAOxy)(xfyA定义.设函数大于某一正数时有定义,若,0X则称常数时的极限,Axfx)(lim几何解释:AxfA)(XxXx或记作直线y=A为曲线的水平渐近线.,0A为函数二、自变量趋于无穷大时函数的极限目录上页下页返回结束x1x11直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线.两种特殊情况:Axfx)(lim,0,0X当时,有Axf)(,0,0X当Xx时,有Axf)(几何意义:例如，都有水平渐近线;0y都有水平渐近线.1y又如，目录上页下页返回结束内容小结1.函数极限的或X定义2.函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理思考与练习1.若极限)(lim0xfxx存在,)()(lim00xfxfxx2.设函数)(xf且)(lim1xfx存在,则.a3是否一定有第四节1,121,2xxxxa？