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1第一章函数的极限与连续极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一,极限的思想与理论,是整个高等数学的基础,连续、微分、积分等重要概念都归结于极限.因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件.本章将在初等数学的基础上,介绍极限与连续的概念.§1-1函数一、函数的概念定义1.1设有一非空实数集D,如果存在一个对应法则f,使得对于每一个Dx,都有一个惟一的实数y与之对应,则称对应法则f是定义在D上的一个函数.记作y=f(x),其中x为自变量,y为因变量,习惯上称y是x的函数,D称为定义域.当自变量x取定义域D内的某一定值0x时,按对应法则f所得的对应值y0,称为函数y=f(x)在x=x0时的函数值,记作f(x0),即y0=f(x0).当自变量x取遍D中的数,所有对应的函数值y构成的集合称为函数的值域,记作M,即DxxfyyM),(例1已知1)(2xxxf,求)0(f,)1(f,)(xf解1100)0(2f1111)1(2f11)()()(22xxxxxf例2求下列函数的定义域.(1)142xy(2))1ln(62xxxy解(1)1,012xx,所以定义域为),1()1,1()1,(x(2)01062xxx132xx,所以定义域为3,1x由函数定义可知,定义域与对应法则一旦确定,则函数随之惟一确定.因此,我们把函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素.如果两个函数的定义域、对应法则均相同,那么可以认为这两个函数是同一函数.反之,如果两要素中有一个不同,则这两个函数就不是同一函数.例如:xxxf22cossin)(与1)(x,因为1cossin22xx,即这两个函数的对应法则相同,而且定义域均为R,所以它们是相同的函数.又如11)(2xxxf与1)(xx,虽然112xx1x,但由于这两个函数的定义域不同,所以这两个函数不是同一函数.通常函数可以用三种不同的形式来表示:表格法、图形法和解析法(或称公式法).三种形式各有其优点和不足,实际问题中往往把三种形式结合起来使用.二、函数的性质1、单调性设函数)(xfy在(ba,)内有定义,若对(ba,)内的任意两点21,xx,当21xx时,有)()(21xfxf,则称)(xfy在(ba,)内单调增加;若当21xx时,有)()(21xfxf,则称)(xf在(ba,)内单调减少,区间(ba,)称为单调区间.2、奇偶性2设函数)(xfy在D上有定义,若对于任意的Dx,都有)()(xfxf,则称)(xfy为偶函数;若有)()(xfxf,则称)(xfy为奇函数.在直角坐标系中,奇函数与偶函数的定义域必定关于原点对称,且偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称.3、有界性若存在一个正数M,使得对任意的),(bax,恒有Mxf)(,则称函数y=f(x)在(ba,)内有界.如y=sinx与y=cosx都在(,)内有界.4、周期性设函数)(xfy在D上有定义,若存在一个正实数T,对于任意的Dx,恒有)()(xfTxf,则称)(xf是以T为周期的周期函数.通常所说的周期函数的周期,是指它们的最小正周期.如xysin的周期是2,xytan的周期是,)sin(wxAy的周期是w2.函数cy,(c为常数)是周期函数,但不存在最小正周期,此类函数称为平凡周期函数.三、反函数定义1.2设函数)(xfy,其定义域为D,值域为M.如果对于每一个My,有惟一的一个Dx与之对应,并使)(xfy成立,则得到一个以y为自变量,x为因变量的函数,称此函数为y=f(x)的反函数,记作)(1yfx显然,)(1yfx的定义域为M,值域为D.由于习惯上自变量用x表示,因变量用y表示,所以)(xfy的反函数可表示为)(1xfy例如xy的反函数是2xy)0(x,其定义域就是xy的值域,0,值域是xy的定义域,0,如图1-1(a)所示.在同一直角坐标系中,函数y=f(x)和其反函数)(1xfy的图象关于直线xy对称.如图1-1(b)所示.图1—1四、初等函数1、基本初等函数下列六种函数统称为基本初等函数.(1)常数函数cy(c为常数),其图形为一条平行或重合于x轴的直线.(2)幂函数xy(为实数),其在第一象限内的图形如图1-2所示.(a)(b)3图1-2(3)指数函数xay(1,0aa),定义域为R,值域为),0(,图形如图1-3)(a所示.图1-3(4)对数函数)1,0(logaaxya,定义域),0(,值域为R,图形如图1-3(b)所示.(5)三角函数xysin,xycos,xytan,xycot,xysec,xycsc.其中正弦函数xysin和余弦函数xycos的定义域都为R,值域都为1,1,正切函数xytan的定义域为ZkkxRxx,2,且,值域为R,这三个函数的图形如图1-4所示.图1-4(6)反三角函数xyarcsin,xyarccos,xyarctan,xarcycot,其中反正弦函数xyarcsin与反余弦函数xyarccos的定义域都为1,1,值域分别为22,和,0反正切函数y=arcanx的定义域R,值域为2,2,这三个函数的图形如图1-5所示.00(a)(b)ππ(a)(b)42、复合函数定义1.3设函数)(ufy的定义域为fD,函数)(xu的值域为M,若fDM,则将)(xfy称为)(ufy与)(xu复合而成的复合函数,u称为中间变量,x为自变量.如函数1,ln2xuuy,因为12xu的值域,1包含在uyln的定义域(0,+)内,所以)1ln(2xy是uyln与12xu复合而成的复合函数.注意:(1)并不是任何两个函数都可以复合的,如uyarcsin与22xu就不能复合.因为22xu的值域为,2,而uyarcsin的定义域为1,1,所以对于任意的x所对应的u,都使uyarcsin无意义;(2)复合函数还可推广到由三个及以上函数的有限次复合.例4指出下列函数的复合过程(1)312xy;(2)2tanlnxy.解(1)312xy是由3uy与12xu复合而成的;(2)2tanlnxy是有tan,lnuuy,2x复合而成的.例5已知f(x)的定义域为1,1,求f(lnx)的定义域.解由1ln1x得exe1所以)(lnxf的定义域为ee,1.3、初等函数定义1.4由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合,且可用一个解析式表示的函数,称为初等函数.有些函数,在其定义域内,当自变量在不同范围内取值时,要用不同的解析式表示,这类函数称为分段函数,分段函数中有些是初等函数,有些是非初等函数.例6已知1100112)(xxxxxfx,求)2(f,)0(f,)21(f,)2(f,并作出函数图形解412)2(2xxf;12)0(0xxf;11oyyx图1-6ππππππ图1-5521)1()21(21xxf;11)2(2xf图形如图1-6所示五、建立函数关系举例运用函数解决实际问题,通常先要找到这个实际问题中的变量与变量之间的依赖关系,然后把变量间的这种依赖关系用数学解析式表达出来(即建立函数关系),最后进行分析、计算.例7如图1-7,从边长为a的正三角形铁皮上剪一个矩形,设矩形的一条边长为x,周长为P,面积为A,试分别将P和A表示为x的函数.解设矩形的另一条边长为060tan2xa=2)(3xa该矩形周长P=axxxa3)32(2)(3,),0(ax矩形面积223232)(3xaxxxaA,),0(ax.图1-7例8电力部门规定,居民每月用电不超过30度时,每度电按0.5元收费,当用电超过30度但不超过60度时,超过的部分每度按0.6元收费,当用电超过60度时,超过部分按每度0.8元收费,试建立居民月用电费G与月用电量W之间的函数关系.解当300w时,G=05W当6030W时,G=36.0)30(6.0305.0ww当60w时,G=158.0)60(8.0306.0305.0WW所示60158.0603036.03005.0)(、求下列函数的定义域(1)221xxy(2)232xxy(3))1ln(2xy(4)xy2arcsin2、已知030102)(2xxxxxxf,求)1(f,)0(f,)1(f的值,并作出函数的图形.3、求下列函数的反函数(1)13xy(2)xyln1(3)11xxy4、判断下列函数的奇偶性(1)xxysin2(2)xxycossin(3)xxycos22(4)11xxeey.5、分析下列复合函数的结构,并指出它们的复合过程(1)12xy(2)xeysin(3))1(cos2xy(4))1sin(lgxy6、把一个直径为50厘米的圆木截成横截面为长方形的方木,若此长方形截面的一条边长x6厘米,截面面积为A平方厘米,试将A表示成x的函数,并指出其定义域.§1-2极限的概念一、数列的极限先看下面两个按一定次序排列的一列数(1)1,21,31,41……,n1,……(2)21,32,43,54……,1nn,……我们称它们为数列,分别记作n1,1nn.现在来考察n无限增大时,这两个数列的变化趋势.为清楚起见,我们把这两个数列的前n项:1x,2x……nx分别在数轴上表示出来(如图1-8,图1-9所示).由图1-8可以看出,当n无限增大时,表示nxn1的点逐渐密集在点0x的右侧,且nxn1无限接近于0;由图1-9可以看出,当n无限增大时,表示1nnxn的点逐渐密集在点当1x的左侧,且1nnxn无限接近于1.上述两个数列具有相同的变化特征,即当n无限增大时,它们都无限接近于一个确定的常数.对于具有这样特征的数列,我们给出定义.定义1.5如果当n无限增大时,数列nx无限接近于一个确定的常数A,则把常数A称为数列nx的极限(也称数列nx收敛于A)记作Axnnlim或当n时,Axn因此,上述数列(1)有极限为0,记作01limnx;数列(2)有极限为1,记作11limnnx.例1观察下面数列的变化趋势,并写出它们的极限.(1)121nnx(2)nnxn1(3)nnx)3(1(4)4nx解(1)121nnx的项依次为1,21,41,81……,当n无限增大时,nx无限接近于0,所以121limnx=0;(2)nnxn1的项依次为2,23,34,45……,当n无限增大时,nx无限接近于1,所以图1-8图1-97nnx1lim=1;(3)nnx)3(1的项依次为31,91,271,811,……,当n无限增大时,nx无限接近于0,所以nx)3(1lim=0;(4)4nx为常数数列,无论n取怎样的正整数,nx始终为4,所以44limn.一般地,一个常数数列的极限等于这个常数本身,即ccnlim(c为常数)需要指出的是,并不是所有数列都有极限,如数列nnx2,当n无限增大时,nx也无限增大,不能无限接近于一个确定常数,所以它没有极限.又如数列nnx)1(,当n无限增大时,nx在-1和1这两个数上来回摆动,不能无限接近于一个确定常数,所以它也没
本文标题:函数的极限与连续
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