数形结合思想在函数方程与不等式中的简单应用(一)

数形结合在函数、方程与不等式中的简单应用（一）安乡五中数学组2005年11月执教：龚光勇数形结合:就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来进行思索，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，从而利用数形的辩证统一，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合是历年高考重点内容之一。例1、设函数f(x)是函数y=1-x与函数中的较小者，则函数f(x)的最大值为。y=x+1yxo1-11maxf(x)1=分析：其图象为抛物线的一部分，y=1-x表示一条直线，在同一坐标系中作出y=1-x与图象可知f(x)的图象应为图中实线部分。故1yx=+211(0),yxyxy=+=+?即1例２、关于x的方程在（-1,1）内只有一个实根，则k的取值范围_______（相等的根按两个计）232xxk-=析：问题可转化为抛物线与直线的交点个数问题。2yk=2512-如图yx0-1-143169-221339()2416yxxx=-=--析：问题可转化为抛物线与直线的交点个数问题。221339()2416yxxx=-=--2yk=≤12-k＜252512-如图yx0-1-143169-对一切实数x不等式|x+1|+|x-2|m恒成立，则实数m的取值范围是________.m3分析：思路一：根据绝对值的几何意义可知,|x+1|+|x-2|表示数轴上的点到－1与2两点的距离之和,如图|x+1|+|x-2|≥3，所以-1012ｘx●|x+1||x-2|例3：1-2x(x≤-1)思路2：设f(x)=|x+1|+|x-2|，则f(x)=3(-1＜x＜2),2x-1(x≥2)易知f(x)min=3,所以3y●●●-12xoy=mm3思路3：利用|a|+|b|≥|a±b|,则|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,所以m33y-3ox表示以(0,0)为圆心,以3为半径的圆在x轴上方的部分。若集合,集合,且,则b的取值范围为_________。{}()|Nxyyxb==+，MNf¹分析：集合N则表示一组平行直线,如图,{}22()|903xyxyy+=?，，集合M可化为23b易知-3b≤23欲使M∩N≠φ即,直线与半圆有公共点,则直线向上平移与圆相切向下平移过点(3,0)例4：2{(,)|9,0}Mxyyxy==-yXXXoyyyooOXABCD１.如图已知二次函数的系数满足abc0,则该二次函数的图象可能是（）2yaxbxc=++C说明：本题考查读图视图能力，要求能准确理解图形中所包含的信息，由形想数。练习：分析：由开口方向确定a的正负，由与y轴交点的纵坐标判断C的正负，结合对称轴的位置可确定b的符号。2.在同一坐标系中,与y=ax+b的图象可能是()B2yaxbx=+(0)ab¹XOyOyXXOyOyxCADD3、要使不等式恰有一解，则a=.22x2ax62-?+?±24、若-32，则x的取值范围是____________________________.x1练习：11xx32-或小结本节讲了方程、函数、不等式中的数形结合问题，在解题时既要由数想形，又要以形助数。常见的“以形助数”的方法有：（2）借助于函数图象，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法。（1）借助于数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补、运算等问题是非常有效的。华罗庚先生曾指出：数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。作业：1.求函数的单调递增区间2.已知关于x的方程有4个不相等的实根，则实数m的取值范围3.求方程的根的个数x12y-=|||log|2x4|x|5m-+=xlgsinx=此题中应注意抛物线过原点，直线与抛物线在X轴上的一个交点重合。直线的斜率为a在Y轴上的截距为b。XOy作函数及y=2，y=-2的图象，要使不等式恰有一解则直线y=2与抛物线相切故方程两个相等实根,据此可求a的值。2yx2ax6=-+2x2ax62-+=y=-2y=2x=a2yx2ax6=-+作函数，y=-3,y=2的图象，观察的图象夹在两直线之间的部分。易知，1yx=1yx=11xx32-或xyy=2y=-3o2113-