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PureMathematics理论数学,2013,3,56-67doi:10.12677/pm.2013.31010PublishedOnlineJanuary2013()AreaIntegralOperatorontheRealUnitBall*DongfangWang1,2,BolinMa2,DanguiShen21CollegeofMathematicsandEconometrics,HunanUniversity,Changsha2CollegeofMathematicsPhysicsandInformationEngineering,JiaxingUniversity,JiaxingEmail:eastking001@126.com,blma@mail.zjxu.edu.cnReceived:Oct.14th,2012;revised:Oct.24th,2012;accepted:Nov.11th,2012Abstract:Inthispaper,weintroduceCarlesonmeasuresontherealunitballintermsofCarlesonboxesortents,andestablishrelationsamongthenon-tangentialmaximalfunction,PoissonintegralandCarlesonmeasuresontherealunitball.Asanapplication,weintroduceacertainareaintegraloperatorinvolvinganonnegativemeasureontheunitballandcharacterizethemeasureintermsofCarlesonmeasureandotherformssuchthatAmapsfrompLtoorfromqLpHto.qLKeywords:AreaIntegralOperator;CarlesonMeasure;TheUnitBall;TheUnitSphere实单位球上的面积积分算子*王东方1,2,马柏林2,沈丹桂21湖南大学数学与计量经济学院,长沙2嘉兴学院数理与信息工程学院,嘉兴Email:eastking001@126.com,blma@mail.zjxu.edu.cn收稿日期:2012年10月14日;修回日期:2012年10月24日;录用日期:2012年11月11日摘要:本文通过Carlesonboxes或者Tents的方式定义了实单位球上的Carleson测度,并建立了单位球上非切极大函数、Poisson积分和Carleson测度之间的联系。作为一个应用,我们引入一种与1nR中单位球体上非负测度相关的面积积分算子A,并用Carleson测度和其他方式刻画了这种使得A从pL到或从qLpH到有界的非负测度qL。关键词:面积积分算子;Carleson测度;单位球;单位球面1.引言记复平面中的单位圆盘为,为它的边界。对于任意DDD,集合2:1zDzz表示上一个以D为顶点的锥。当0时,面积积分算子12222d1,1AzAfzDfzzD是从pHD到有界的算子,是上的Lebesgue测度,见[1]。但当pLDdAD0时,此结论不成立,为此,*资助信息:本文得到浙江自然基金(y6100810,y6110824)和国家自然基金(11271162)的资助。Copyright©2013Hanspub56王东方等实单位球上的面积积分算子Cohn在[2]中引入了一类广义面积积分算子G,即:d,1zGffzDz,并得到一个主要结果:G从pHD到有界当且仅当DpL是上的一个Carleson测度,其中D0p。在[3]中,Z.Wu用上的Carleson测度和其他方式刻画了这种使得DG从上的Bergman空间DpAD到pLD的有界性,这里。文献[4]进一步推广了Cohn在文献[2]中的结论,其主要结论是:当时,0,pq0pqG从pHD到有界当且仅当DpL是复圆盘D上的1p11q-Carleson测度;当1时,Gqp从pHD到有界当且仅当pLDpqpqzLDzd1。面积积分算子在调和分析中有很有用,它可以反映非切极大函数、Poisson积分、Tent空间、乘子以及许多算子之间的关联。在以上研究成果的启发下,本文关注于1nR中单位球上的情形。本文中,我们先定义了上的一系列概念,比如:上的Carleson测度、锥、帐篷等;然后在此基础上,我们引入一类与上非负测度BBBB相关的面积积分算子A;最后,我们用Carleson测度和其他方式刻画了这种使得A从到或者从pLqLpH到有界的qL。本文反映了定义在单位球面上的函数空间与Poisson积分、面积积分算子A等之间的密切关系,丰富了上的理论基础,并推广了复分析和实分析中许多经典的技术和结论,具体读者参见文献[5-7]。B在本文中,表示nS1nR中单位球上的球面。对于任意球冠,nS表示它的Lebesgue测度,B1n1nnrSR,x表示一般的欧氏向量模。当nxS时,记,xr为上一nSx表示它的半径。对于个以x为中心、以为半径的球冠,而对于任意常数c,r,cxr表示和,xr同心但半径为其倍的球冠。这里显然,当时,。和c表示正常数,在不同的地方可能表示不同的值。对于任意球冠,定义集合c1cr,ncxrSC:,1z1BrzzSz为基于的Carlesonbox。[8]定义了单位球上的s-Carleson测度,在这里,为了本文研究方便,我们通过Carlesonbox给出下面这种定义形式,即:对于,上的一个非负测度Bs0B被称为s-Carleson测度,如果存在常数C使得sSC对任意球冠都成立。nS对于任意nxS,中以Bx为顶点的锥是集合:,1zxzBxzz。众所周知,对于任意定义在上的可测函数nSf,其Poisson扩张到zB记做211,ddnnnSSnzFzfxpxzxfxxSxz,这里211,nnzpxzSxz是单位球上的Poisson核。B对于定义在上的可测函数nSf和上的一个非负测度B,一类上的广义面积积分算子BA可以定义为Copyright©2013Hanspub57王东方等实单位球上的面积积分算子d,1nnxzAfxFzxSz。本文有如下主要结论:定理1.1设1,pq是单位球上的一个非负测度。那么,B是单位球上的一个B111pq-Carleson测度当且仅当dpnnqqpnLSSAfxxCffLS。(1.1)定理1.2是单位球上的一个非负测度。Ba当1时,p是单位球上的一个Carleson测度当且仅当Bd,pnnpppnLSSAfxxCffLS。(1.2)b对于0,如果是单位球B上的一个Carleson测度,则有11:,nnnLSCxSAfxffLS。定理1.3设,0pq是单位球上的一个非负测度。B是单位球上一个B111pq-Carleson测度,则有d,pnnqqpnHSSAfxxCffHS。定理1.4设1,qp是单位球上的一个非负测度。那么,Bd,pnnqqpnLSSAfxxCffLS当且仅当pqnpqLS,这里d1nxzxz。2.预备知识和若干引理对于任意球冠,集合nS:,1zTzBzz是基于球冠的帐蓬。对于,上的一个非负测度0sB也被称为s-Carleson测度,如果存在常数C使得sTC对任意球冠都成立。不难看出,对于任意球冠,必存在正常数使得nSnSCTSTC,则这种通过帐蓬来定义和通过Carlesonbox来定义的s-Carleson测度是等价的。对于任意,记zB:nzxSzx。不难看出,z是中的一个球冠,且这个球冠是以nSzz为中心、以为1z半径的球冠,我们可以称zz是由点确定的球冠。同时,不难发现,对任意球冠,必存在一点使得znSzB。从而,对任意z,有下面有用估计d1nnxSzzxz。(2.1)对于任意和zB1ngLS,Copyright©2013Hanspub58王东方等实单位球上的面积积分算子1dzTgzgxxz可以看做是g的另一种在单位球上的扩张。B设是单位球上的一个可测函数,那么定义zBsupzxxz是在nxS的非切极大函数。而对于上的可测函数nSf,它的Hardy-littlewood极大函数记做,011supd,,nxrrMfxfyyxSxr。下面几个引理是关于单位球上非切极大函数、上BnSpL函数空间、Hardy-Littlewood极大函数和Carleson测度之间的关系。引理2.1设是单位球面中的一个非空开集,那么必然可以找到一列两两互不相交的球冠EnS123,,,,m,使得1mkkcE和1mkkE,这里的是一个正常数,ck表示与k同心但半径是其3倍的球冠。引理2.2设f是单位球面上可测函数。那么nSa当pnfLS和1p时,Mf是几乎处处有界的;b当1nfLS时,对于任意0,有1:nnLScxSMfxf;c当pnfLS且1p时,那么有pnMfLS和pnpnpLSLSMfAf。引理2.1和引理2.2的证明可参见[7,p.79]中在上半空间的证明方法,这里省略。引理2.3设f是单位球面上可测函数,nSFz是其在单位球上的Poisson扩张。则有B,nFxCMfxxS。证明:对于任意,必存在一个球冠zB,1zzz。表示非负整数,表示比jN11logz小的最大正整数。j表示与同心但半径为其2j倍的球冠,则有01,nSN。此时,对于任意1\jjx,有估计21jxzCz。使用上面的估计,我们有11111\01\011,ddd11dd1221njjjjNnnSjNnnjjjfxzfxzfxpxzxCxxxzxzCfxxCfzzxx。根据上面Hardy-Littlewood极大函数的定义,上式可得,d,nSzfxpxzxCMfzBz。Copyright©2013Hanspub59王东方等实单位球上的面积积分算子对于任意,当zBzz且z时,可推得1xxzzxzCzxzCx对于任意nxS均成立。换句话说,当zz且z时,,nCxxzxS
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