数的开方与二次根式讲义

---数的开方与二次根式讲义〖知识点〗平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、同类二次根式、二次根式运算、分母有理化〖大纲要求〗1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。内容分析1．二次根式的有关概念(1)二次根式式子)0(aa叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O．(2)最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．(3)同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质).0;0();0;0();0(),0(||);0()(22bababababaabaaaaaaaaa3．二次根式的运算(1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．(2)三次根式的乘法二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即).0,0(baabba二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．(3)二次根式的除法二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．〖考查重点与常见题型〗---1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题。2.考查最简二次根式、同类二次根式概念。有关习题经常出现在选择题中。3.考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多。考查题型1．下列命题中，假命题是（）（A）9的算术平方根是3（B）16的平方根是±2（C）27的立方根是±3（D）立方根等于－1的实数是－12．在二次根式45，2x3，11，54，x4中，最简二次根式个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个（2）下列各组二次根式中，同类二次根式是（）（A）136，32（B）35，15（C）1212，13（D）8，233.化简并求值，a+abab+b＋ab－ba－ab，其中a＝2＋3，b＝2－34．2＋1的倒数与2－3的相反数的和列式为，计算结果为5．（－14）2的算术平方根是，27的立方根是，49的算术平方根是，4981的平方根是.考点训练：1．如果x2＝a，已知x求a的运算叫做，其中a叫做x的；已知a求x的运算叫做，其中x叫做a的。2．(－2)2的平方根是，9的算术平方根是，是－64的立方根。3．当a0时，化简∣a∣＋a2＋3a3＝。4．若5.062=2.249，50.62=7.114，x=0.2249，则x等于（）（A）5.062（B）0.5062（C）0.005062（D）0.050625．设x是实数，则(2x＋3)(2x－5)＋16的算术平方根是（）（A）2x－1（B）1－2x（C）∣2x－1∣（D）∣2x＋1∣6．x为实数，当x取何值时，下列各根式才有意义：（1）－3x－2（）（2）x2＋5（）（3）1x2（）（4）131－x（）(5)11－x＋2（）（6）x＋－x（）7．等式3－xx＋2＝3－xx＋2成立的条件是（）（A）－2x≤3（B）－2≤x≤3（C）x－2（D）x≤3---8．计算及化简：（1）(－727)2（2）ab2(c＋1)2（3）0.01×640.36×324（4）2a23bb3a4－b2a4（b1）（5）xx－3yx2y－6xy2＋9y3x（x3y）（6）(48－60.5)(43＋18)－(23－32)2（7）已知方程4ｘ2－2ａｘ＋2ａ－3＝0无实数根，化简4ａ2－12ａ＋9＋｜ａ－6｜解题指导1．下列命题：（1）任何数的平方根都有两个（2）如果一个数有立方根，那么它一定有平方根（3）算术平方根一定是正数（4）非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）42．已知30.5=0.794，35=1.710，350=3.684，则35000等于（）（A）7.94（B）17.10（C）36.84（D）79.43．当1x2时，化简∣1－x∣＋4－4x＋x2的结果是（）（A）－1（B）2x－1（C）1（D）3－2x4．(x－2)2＋(2－x)2的值一定是（）（A）0（B）4－2x（C）2x－4（D）45．比较大小：（1）315114（2）7－222－1（3）35－3434－336．化简：aa－2ba2b－4ab2＋4b3a（2ba）7．计算：（32＋0.5－213）－（18－1575）8．已知a＝3－23＋2，b＝3＋23－2，求a2－5ab＋b2的值。9．计算：945÷315×3222310．化简：632－2311.设5+15-1的整数部分为ａ，小数部分为ｂ，求ａ2＋12ａｂ＋ｂ2的值。独立训练1．2－3的倒数是；2－3的绝对值是。2．8的有理化因式是，x－y的有理化因式是。3．1x－x－1与1x－1＋x的关系是。4．三角形三边a＝750，b＝472，c＝298，则周长是。5．直接写出答案：---（1）3·2÷30＝，（2）4xy2x=，（3）(3－2)8(3＋2)8=。6．如果a－b的相反数与a＋b互为倒数，那么（）（A）a、b中必有一个为0（B）∣a∣＝∣b∣（C）a＝b＋1（D）b＝a＋17．如果(2－x)2＋(x－3)2＝（x－2）＋（3－x），那么x的取值范围是（）（A）x≥3（B）x≤2（C）x3（D）2≤x≤38．把（a－b）－1a－b化成最简二次根式，正确的结果是（）（A）b－a（B）a－b（C）－b－a（D）－a－b9．化简－3xx－1x＋4x3的结果必为（）（A）正数（B）负数（C）零（D）不能确定10．计算及化简：（1）（5827·113·354）（2）18＋22－1－412－2(2＋1)0（3）（3x2xy－253xy+13xy2）÷x2xy（4）aa－ba2－aba3－2a2b+ab2（ab）11.已知ｘ＋3ｘ＋2＝13+2+1,求x-32x－4÷(5x－2－的值x－2)。12.先化简,再求值:(ｘ＋2xy+yx＋y+1x-y)+ｘ-y+1x其中x=2-3,y=2+313.设11－62的整数部分为m，小数部分为n，求代数式m＋n＋2n的值。14.试求函数ｔ＝2－－3ｘ2＋12ｘ－9的最大值和最小值。15.如果ａ＋ｂ＋｜ｃ－1－1｜＝4ａ－2＋2ｂ＋1－4，那么ａ＋2ｂ－3ｃ的值