有限元习题与答案

习题2.1解释如下的概念：应力、应变，几何方程、物理方程、虚位移原理。解○1应力是某截面上的应力在该处的集度。○2应变是指单元体在某一个方向上有一个ΔU的伸长量，其相对变化量就是应变。XUXx表示在x轴的方向上的正应变，其包括正应变和剪应变。○3几何方程是表示弹性体内节点的应变分量与位移分量之间的关系，其完整表示如下：Txzyzxyzyxxwzuzvywyuxvzwyvxuxwzuzvywyuxvzwyvxu○4物理方程：表示应力和应变关系的方程某一点应力分量与应变分量之间的关系如下：666564636261565554535251464545434241363534333231262524232221161514131211xzyzxyzyxxzyzxyzzyyxx○5虚位移原理：在弹性有一虚位移情况下，由于作用在每个质点上的力系，在相应的虚位移上虚功总和为零，即为：若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移，所有作用在弹性体上的体力在虚位移上所做的工就等于弹性体所具有的虚位能。2.2说明弹性体力学中的几个基本假设。○1连续性假设：就是假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何间隙。○2完全弹性假设：就是假定物体服从虎克定律。○3各向同性假设：就是假定整个物体是由同意材料组成的。○4小变形和小位移假设：就是指物体各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且其应变和转角都小于1。2.3简述线应变与剪应变的几何含义。线应变：应变和刚体转动与位移导数的关系，剪应变表示单元体棱边之间夹角的变化。2.4推到平面应变平衡微分方程。解：对于单元体而言其平衡方程：000ZxYxXxzzyzyxzzzyyyxyzzxyxyx在平面中有zyzxz代入上式的00YXzxyyyxxyxx2.5如题图2.1所示，被三个表面隔离出来平面应力状态中的一点，求和的值。解：x方向上：045sin45sin3020045cos45cos3040200000联立二式得：302202302.6相对于xyz坐标系，一点的应力如下64430003某表面的外法线方向余弦值为6/11xynn，7/11zn，求该表面的法相和切向应力。解：该平面的正应力2222222222667766(3)3241111111111xxyxzxnxyzyxyyzyzxzyzzxxyyzzxyxyyzyzzxzxnnnnnnnnnnnnnnn全应力22222266667644(3)311111111115.80nxnynznxxyxyzzxxxyyyzyzxzxyyzzzTTTTnnnnnnnnn该平面的切应力22225.84.493.68nnnT2.7一点的应力如下MP求主应力和每一个主应力方向的方向余弦；球该店的最大剪应力。解：设主平面方向余弦为xyznnn，由题知20xyz10xyyxyzzyxzzx12222222232202020602020310390022020202101010201034000xyzxyyzzxxyyzzxxyzxyyzzxxyzxzxzxyIMPaIMPaIPa将123III代入321230III得326090040000即240100140MPa，2310MPa。最大剪应力13max40101522MPa（1）当1时代入式（2.21）201010010201001010200xyzxyzxyzxyznnnnnnnnnnnn222313xyzxyznnnnnn（2）当23时代入式（2.21）0xyznnn且2221xyzxyznnnnnn63xn66yznn2.8已知一点P的位移场为23(4)10uyiyzjbxk，求该点p(1,0,2)的应变分量。解：p点沿坐标方向的位移分量为u,v,w2222210,310,4610uyvyzwx点p(1,0,2)处线应变为0xxux，22310610yyvzy，0zzwz剪应变为0xyvuxy，203100yzwvyyz，212101200xzwuxz2.9一具有平面应力场的物体，材料参数为E、v。有如下位移场32(,)uxyaxbxy23(,)vxycxydy其中，a、b、c、d是常量。求xyxy讨论位移场的相容性解：23xuaxbyx223yvcxdyy22xyvucxybxyyx因为222xby222ycx222xycbxy所以满足相容性条件22222yxyxyxxy有广义胡克定律11xxyyyxEE得222222331331xyacxbdyEacxbdyE又xyxyG则221xyxyEGxycb1Ecbxy2.10一具有平面应力场的物体，材料性质是E=210GPa,v=0.3.并且有如下位移场233(,)301020uxyxxyy232(,)10205vxyxxyy当x=0.050m,y=0.020m时，求物体的应力和应变。位移场是否相容？解：226030600.05300.050.022.9985xuxxyx226010600.050.02100.020.2012yvxyyy32332220206010200.05200.02600.02100.051.02291xyvuxyyxxy由广义胡克定律9522210102.99850.30.20122.5410110.3xxyEMpa9522210100.32.99850.20122.5410110.3yxyEMpa95210101.022918.261021210.3xyxyxyEGMpa220xy，220yx，20xyxy满足相容性条件22222yxyxyxxy2.11对于一个没有任何体积力的圆盘，处于平面应力状态。其中32xaybxycx3xdye22zfxygxyha,b,c,d,e,f,g,h是常量。为了使应力满足平衡方程和相容方程，这些常量的约束条件是什么？解：由题意得：2xbxycx，23ydyy，22xyfygxyx，22xyfxygxy代入平衡方程2222222030230yxxxyxbxycfxygxdfyxybfgxcgfygxydyxx根据广义胡克定律：3233322222111121666xxyyyxxyxyxyaybxycxdyeEEdyeaybxycxEEfxygxyhGEaydy222yxbyE22122xyfygxxyE代入相容方程66241aydybyfygx332121adbfxyg（2）代入（1）得223321321cgyadbfbfdf2223321213321321adbfcgxadbfbfdf其中23321321adbfbfdf2.13根据弹性力学平面问题的几何方程，证明应变分量满足下列方程，22222yxyxxyyx并解释该方程的意义。证明：弹性力学平面问题的几何方程为：uxx①，uyy②，Vuxyxy③，将方程①，②分别对y和x求二阶偏导并相加得：22333222222xxuvvuvxyyxyxxyxyxy等式右端项uvxyyx，22222xxxyxyyx该方程为相容方程中的第一式，其意义为弹性体内任一点都有确定的位移，且同一点不可能有连个不同的位移，应变分量,,xyxy应满足相容方程，否则，变形后的微元体之间有可能出现开裂与重叠。2.14假设Airy应力函数为43223412345axaxyaxyaxyay，其中ia为常数，求,,xyxy，并求这些变量间的约束关系。解：由22222,,xyxyxyyx，对该应力函数求偏导得;32231234432xaxaxyaxyay32232345234yaxaxyaxyay对以上两式的偏导可求得：2222222123223452233412622612343yxxyyxyxyaxaxyayaxaxyayaxaxyay考虑相容性条件444422420xxyy,将上式代入可得各常量间的关系如下：153660aaa2.15对给定的应力矩阵，求最大Tresca和Von.Mises应力。将VonMises应力和Tresca应力201010进行比较，δ=102010Mpa。101020δzτxyτxz解：由Tresca准则：δ=δyτyz故有δs=20Mpa，τmax=δs/2=10Mpaδzδ1=（δx+δy）/2=30Mpaδ2=10Mpa由VonMises准则：2δs2=6（τxy2+τyz2+τyz2）解得δs=30Mpa30-1