向量方法在证明初等几何定理及公式的中应用——毕业论文

本科生毕业论文（设计）题目：向量方法在证明初等几何定理及公式的中应用院（系）数学与统计系专业班级学生姓名指导教师（职称）提交时间二0一三年五月学号分类号O12安康学院学位论文独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得安康学院或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。作者签名：日期：安康学院学位论文使用授权声明本人同意在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属安康学院。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为安康学院。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其他指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。作者签名：日期：1向量方法证明初等几何定理和公式中的应用（安康学院数学与统计系，陕西安康，725000）摘要向量是近代数学最基本的概念之一，它同时具有代数和几何两种形式.中学数学教材中的向量内容,为中学生学习几何的代数化方法提供了一个有效的运算工具.大家都知道,直接用的几何的综合推理方法来学习几何,大多数学生都觉得比较困难.向量运算体系与算术、代数运算体系基本相似,几何、代数、三角函数结合平面向量的基本定理等几何意义,使得向量在几何问题的求解中起到了极其重要的作用，在解决平面几何问题时起到了化繁为简的效果.利用向量解几何题是数和形结合，这对于开拓解题思路,培养发散思维能力,提高综合能力是非常有利的，同时也能够有效地测试逻辑推理能力、运算能力以及运用相关知识和方法分析问题和解决问题的能力.因此我们应重视向量知识的学以致用.关键词向量公式初等几何定理2Vectorproveelementarygeometrytheoremsandformulas(DepartmentofMathematicsandStatistics,AnkangUniversity,Shanxi,Ankang,725000)AbstractVectorisoneofthemostfundamentalconceptsofmodernmathematics,algebraandgeometryintwoforms.Vectorcontentinthesecondaryschoolmathematicstextbooksforhighschoolstudentslearninggeometryalgebraicmethodprovidesaneffectivecomputingtools.Well-known,thedirectusegeometricreasoningtolearngeometry,moststudentsfinditmoredifficultthevectoroperationsystemandarithmetic,algebraicoperationssystemisbasicallysimilar,geometry,algebra,trigonometricfunctionscombinedwithaflat-screenvectorfundamentaltheoremgeometricmeaning,thevectorgeometryproblemsolvingplayanextremelyimportantroleinsolvingthePlaneGeometryplayedsimplifytheeffectofsolutionvectorgeometryquestionformcombination,forthedevelopmentofproblem-solvingideas,developdivergentthinkingabilitytoimprovetheoverallcapacityisverybeneficial,butalsobeabletoeffectivelytestthelogicalreasoningability,computingpower,andtheuseofknowledgeandmethodstoanalyzeproblemsandproblem-solvingskills,soweshouldpayattentiontoapplytheirknowledgeofvectorknowledge.KeywordsVectorFormulaElementarygeometrytheorem目录摘要...............................................................1Abstract:...........................................................2前言................................................................1正文...............................................................21.关于向量的基本定义、定理及性质....................................21.1向量的基本定义..............................................21.2平面向量的基本定理..........................................31.3坐标表示....................................................32.向量证明初等几何定理及公式........................................32.1向量证明初等几何定理........................................3定理1三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半........3定理2勾股定理............................................4定理3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.................4定理4菱形对角线互相垂直...................................5定理5半圆或直径所对的圆周角是直角.........................6定理6三角形的三条高交于一点...............................6定理7等腰三角形顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（三线合一）................................................7定理8等腰梯形的两条对角线相等.............................8定理9如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直那么它就和平面内任何直线都垂直即它垂直于平面..........................9定理10正弦定理...........................................10定理11余弦定理...........................................102.2向量证明公式...............................................11公式1海伦公式............................................11公式2和差化积公式........................................12公式3三角函数差角公式....................................13结束语.............................................................14参考文献：.........................................................16致谢............................................................17安康学院毕业论文1前言从实施新一轮数学课程改革以来，概念、内容到实施，都已经发生了很大的变化.尤其是，19世纪末期和20世纪初期发展起来的向量数学，在现代数学，物理学，工程学、空间物质结构中得到广泛应用，而备受人们的关注.向量进入中学数学教科书，近几十年来，在国内和国外的学习中，让学生在中学数学教科书中学到向量技术是向量教育改革的一大特征.用它来解决几何问题，可以大大降低学习的难度，激发学生的学习兴趣，在学习中获得成功的体验.把基本几何量的代数化，我们就得到了向量的概念，再运用欧式空间所特有的勾股定理、平移和相似等基本的性质引起向量的加法、内积和倍积三个向量运算，这就把空间中独特的结构化转换成为向量与向量运算这种代数体系.因此空间中的基本性质，被转换为向量数学运算.也就是说，向量运算律是代数化了的几何公理.从而就实现了从定性几何到定量几何的转折，向量这个载体就是转折的枢纽.由于向量同时拥有有几何形式和代数形式的双重形式，所以成为了中学数学知识的交汇点，是联系多种内容的非常有力的媒介.因为平面向量作为一种有向线段原本就是直线上的一段，向量的坐标可以用起点和终点的坐标来表示，所以向量和平面解析几何，特别是和直线部分，保持着密切的联系.用空间向量处理空间问题，将空间元素间的位置关系转化成数量关系，把以前的形式、逻辑证明转化成数值计算，变繁难为简易，变复杂为简单，是一种重要的解决问题的途径和方法.向量的坐标表示是向量的代数表示，要实现向量运算的代数化，就用向量的坐标表示，把数和形巧妙地结合起来，大多数的几何问题的证明可以被转换成数的操作，向量成为了数学中一种有效的解决几何问题的工具.本文就以向量证明初等几何定理的例子来说明向量的应用.安康学院毕业论文2正文1.关于向量的基本定义、定理及性质1.1向量的基本定义定义1既有大小又有方向的量称为向量.通常用有向线段表示向量，起点为A、终点为B的有向线段记为AB,有向线段AB的长记为AB，向量通常也用a或b表示.定义2向量a的大小称为向量a的模(或长),记为a，a是一个非负实数.起点和终点重合的向量称为零向量,记为0或AA，0=0，它的方向是不确定的或任意的.模为1的向量称为单位向量,常用e表示.定义3向量的加法满足的结合律和交换律.(1)abba(2))(cbacba已知向量a和b,以任意点O为起点,作bOBaOA,,再以OA、OB为边作平行四边形OACB,则OBAC,对角线上向量cOC就是a、b之和,cba，这种作图法称为求向量和的平行四边形法.已知向量a和b，作bABaOA,，则cOB就是向量ba和之和，这种作图法称为求向量和的三角形法.定义4与向量a模相等、方向相反的向量b是向量a的相反向量，表示为baab或.两向量模相等、方向也相同，这两个向量是相等向量.零向量均相等.定义5方向相同或相反的向量成为平行向量，记作a//b.零向量平行于任何向量.定义6两个向量的模与它们夹角余弦的乘积叫作两向量的数量积（内积），记作)0(cosbaba.向量的乘法满足结合律和分配律:(1)abba(2)abba)())(((3)acabcba)(安康学院毕业论文3定义7如果一个非零向量n与平面垂直，则称向量n为平面的法向量概念.垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量，一个平面都存在无数个