数列的基本运算及性质

数列与不等式专题七111.2()(12)31nnnnnnnnnSnSaaSSnaaa数列概念定义：按一定次序排成的一列数叫做数列．与的关系是：递推公式：如果已知数列的首项或前几项，且任一项与它的前一项或前几项间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数．列的递推公式．*1*112.21()1()2224213NNnnnnaAbAababAaandnnnaannSnadSn等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做这个数列的公差．等差中项：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，记为通项公式：．前项和公式：或．．1*11*112.()111()1234113NNnnnnnnnaGbGabGabaaqnnqSnaaaqaqqSSnqq等比数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫做这个数列的公比．等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，记为通项公式：．前项和公式：当时，；当时，或．．*232232(2.1)4NnmnpqnmnpqnnnnnnnnnnnnnnmnpqmnpqaaaaaaaaaaSanaSSSSSaSSSSS等差数列与等比数列的性质若，，，，则当为等差数列时；当为等比数列时此性质可称为“下标和相等性质”．若为数列的前项和，则在等差数列中，，，成等差数列；在等比数列中，，，成等比数列．此性质可称为“项的片断和①②①②．性质”．3746160___________.nnnaaaaaanS已知等差数列中，，，则的前项和例1.分析：将已知的两个等式转化为关于首项a1与公差d的方程组来解．考点1等差数列与等比数列的基本运算11111126163508819812982nnnadadadadSnnnnnSnnnnnadaadd设的公差为，则，解得或，因此解析：或．()()()adq首项与公差或公比是支撑等差数列或等比数列的两大支柱，因此，将所求问题转化为这两个量的方程组是最基本的方法，也是常规法，须【思维启迪】熟练掌握．163414_____.nnanSaSSa设等比数列的前项和为，若，，则变式题：6316333411.111441.133naqqqqaaaSSqqqq设等比数列的公比为，由，，得，整理得，故解析：223467853737380()A2B1C1D2naaaaaaaaaaaa等比数列中，若，则　　．．．例2．.222436872375aaaaaaaaa分析根据等比数列的性质知，，，于是可对已知等：式进行化简．考点2等差数列与等比数列的性质应用22224368737523467837373733737380380.A82.aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa因为，，，所以由，得由和的立方公式，得，解析：，故选所以222243687375aaaaaaaaa【思本题要利用等比数列下标和的性质须观察分析得到，，，变形后还须注意类比和的立方公式，抓住了这两点，本题就维启迪】易解了．据题设条件可知，，，成等比数列，即，，成等比数列，①则，②由条件知＞，所以由①解得，代入②可解得，解故析：选34214()A80B30C26D16nnnnnanSSSS各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则等于　　．．．变式．题：13524610599()A21B20C19D18nnnnaaaaaaaSanSn已知为等差数列，，，表示的前项和，则使得达到最大值的是　　备选例题：．．．．1100nnnadaana首先利用等差数列的通项公式将等式转化为关于首项与公差的等式，从而可得数列通项公式，然后利用分：确定析的值．13524611111114110599(2)(4)105()(3)(5)9939242412.4120394141210222B.0nnnaaaaaaaadadadadadadaannannann由，，得，解得，，所以由，得＜，解所以，故析：选求数列的前项和的最值是等差数列固有的一种独特题型，其解答时注意利用与确定所求是最大值还是最小值，然后再求最值及相应【思维启迪的】值．11()(2)nnnaadqnS重视基本概念及公式应用：主要涉及数列、等差和等比数列的概念、通项公式、前项和公式，在这些公式中有，，，，，“知三求二”成为等差比数列中的基本问题．另外，注意利用“设而不求，整体代入”来简化运算．重视利用等差、等比数列的常用性质解题：要善于抓住等差与等比数列的．下标变化，巧妙运用相关的性质如下标和的性质，往往可使问题快速求解，达到化繁为．简的目的．熟练掌握求数列通项的常用方法：观察猜想法、公式法、转化法等．熟练掌握数列求和的常用方法：公式法、分组求和法、并项法、错位相减法、裂项相消法、倒序．．相加法等．121224A81.(2B7C6D011)5nnkkSanadSSk　设为等差数列的前项和，若，公差，，则．．全国大纲卷．．2222222242245.kkkkSkkSkSSkk根据题意：，，所以可化，解所以为析：2132.(2011)6,630.nnnnanSaaaaS设等全国大纲卷比数列的前项和为，已知，求和1112111111323.632.630232321232331.nnnnnnnnnaqaaqaqaaaaqqaSqSaq解析：当设的公比为由题设得，解，时，，得或；当，时，，