随机信号复习提纲

《随机信号基础》知识点1、确定函数、随机变量、随机过程三者之间的关系例题：理解最简单随机过程tatXcos，其中,a是常数，t表示时间，表示随机相位。（1）当t，均为变量时，tX是一族时间t的函数，即为随机过程；（2）当给定，t为变量时，tX是一个确定的时间t的函数，即样本函数；（3）当t给定，为变量时，tX表示一个随机变量，即t时刻的状态；（4）当，t均给定时，tX是一个常量。总结：随机过程=时间+随机变量，注意扩展，简述题考查多。2、随机变量的分布函数与概率密度函数分布函数：xXPxF概率密度函数：dxxdFxf例题：设某信号源，每T秒产生一个幅度为A的方波脉冲，其脉冲宽度X为均匀分布于T,0中的随机变量。这样构成一个随机过程ttY0,。设不同间隔中的脉冲是统计独立的，求tY的概率密度yfY。解：某个时刻tY可以看做随机变量，取范围nTtTn1；tY取值只有两种：TTntTntXPtYP110TtnTTntXPAtYP1AyTtnTyTTntyfY1注意：对于离散随机变量的分布函数可表示为：iiixxUpxF；概率密度函数可表示为：iiixxpxf。例题：利用重复掷硬币的试验定义一个随机过程：出现反面出现正面,2,costttX设“出现正面”和“出现反面”的概率各为0.5；（1）求X(t)的一维分布函数1,,21,xFxFXX（2）求X(t)的二维分布函数1,21;,21xxFX解：令随机变量Y表示试验结果，Y=1表示正面，Y=0表示反面。2101YPYP；（1）当21t时，02cos211XY，1212210XY；1110,2/10,02121,xxxxXPxFX同理：2121,2/11,01,xxxxFX（2）2,112,1021,12/121,104/11001;211,21;,21212121212121xxxxxxxxxxxXxXPxxFX或者或者3、随机变量的函数，公式计算如果随机变量X的取值落在区间(x,x+dx)内，那么随机变量Y的取值必定落在(y,y+dy)内；即：dyyYyPdxxXxP因为：dxxfdxxXxPX和dyyfdyyYyPY所以：dyyfdxxfYX由于概率密度是非负的，所以有：dydxxfyfXY注意要扩展；一般地，如果xgy有n个反函数yhyhn,,1，则：nnXXYJxfJxfyf11例题：设随机变量X的概率密度函数为：11,21)(xxfX由2XY，求)(yfY解：yxydydxdydx2121yyfyyfyfXXY2121)(y2111x10y10,21)(yyyfY4、随机变量的特征函数定义与性质定义：XjuXeEuC)(性质1：dueuCxfdxexfuCjuxXjuxX21性质2：0)()(ukXkkkduuCdjXE5、随机过程的数字特征例题：如果平稳过程)(tX不含周期分量，其均值为Xm，方差为2X，自相关函数为)(XR，则)0(XR___________，)(XR___________。解：22)0(XXXmR，2)(XXmR6、平稳随机过程定义与性质例题：设)(tX为零均值平稳正态过程，现有新的随机过程)()(2tXtY。试证明：)(2)0()(22XXYRRR。解：222220,XXYRRtXtXEtXtXEtXtXEtXtXEtXtXEtXtXEtXtXEtYtYEttR7、功率谱密度函数的定义，功率谱密度函数与相关函数之间的关系定义：])([21lim2TTXXETG维纳-辛钦定理：deGRdeRGjXXjXX)(21)()()(例题：随机信号tatXcos)(相位Φ均匀分布于[0,π/2]，a、ω为常数，求：X(t)的平均功率解：X(t)非平稳taEtXE222cos)(22cos122tEa202222cos222dtaataa2sin222TTTdttXETP)(21lim2TTTdttaaT)2sin(221lim22TTXTTXdtttRTR,21lim或者TTTdtttaETcoscos21lim2cos22adGPX210TXR22a8、常用付氏变换对和三角变换公式常用傅氏变换：1t21jt1jt2sgn22t000cost000sinjt020tje0,1ajateat0,222aaaeta常用三角公式：2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscossincoscossinsinsinsincoscoscos9、导数与积分的定义与性质22121),(),(tttRttRXXY，12121),(),(tttRttRXYX，2121221),(),(ttttRttRXY平稳：ddRRXXY)()(，ddRRXYX)()(，22)()(dRdRXY10、随机过程的各态历经性各态历经随机信号一个样本函数经历了随机信号所有可能的状态，这个性质在实际应用中非常有用，因为通过一个样本函数的观测，可以估计出均值、方差和相关函数等特性；平稳随机过程+时间均值等于统计均值+时间相关函数等于统计相关函数；11、随机信号过线形系统的方法，冲激响应法和频谱法冲击响应法是随机信号通过线性系统的基本方法，对于平稳和非平稳情况都是适应的，而频谱法只适合于平稳随机信号的情况。例题：如图3.14所示，tX是输入随机过程，20NGX，tZ是输出随机过程。试用频谱法求输出tZ的均方值。延时TtXtdttZ解：由流程图得：（注意导数和积分的关系,没有直流分量）TjejH11220022212cos12TjTjXZeeNNTHGGZZGR利用常用付氏变换对212t4420TTNRZ200TNRZ例题：随机相位正弦波ttatX,cos0，其中0,a是正常数。是在,内均匀分布的随机变量。求tX的概率密度函数、均值函数、方差函数和相关函数。解：因为的概率密度函数为：其它,0,2/1f所以依据特征函数定义得：dxxfeeEvXjvxtjvXXdfeeEvtjvatjvaXcoscosaajvxyjvattyjvatjvaxadxedyedyede22coscoscos212121利用概率密度函数与特征函数之间关系可得：其它0122axxaxfX021coscosdtataEtX12221221221cos2coscos21coscos,ttadttattEattRX2,222atttRtXXX例题：设有下图所示的RC电路，假定输入为零均值的平稳随机信号，且相关函数eRX)(，求输出tY的自相关函数。tXtYRC解：eeRHGGGRCjHYXYX222222222222222222221,12、随机信号过非线性系统的方法，原始定义与函数变换例题：若非线性系统的输出由下式给出：xtXxtXtY)(,0)(,1)(其中X(t)为平稳过程，x为常数，求：21,,)(ttRtYEY解：Y(t)只能取1和0两个值，按定义可知：xtXPtYP1xtXPtYP00)(01)(1)(tYPtYPtYExtXP1txFX,1)(,1)(11,2121tYtYPttRYxtXxtXP)(,)(2121,;,ttxxFX13、白噪声的定义，噪声等效通能带例题：简述噪声等效通能带的定义及其等效原则。解：我们把白噪声通过线性系统后的非均匀物理谱密度等效为在一定频带内均匀的物理谱密度，这个频带称为噪声等效通能带，记为ef。2max0202HdHfe,等效原则是输出平均功率相等。14、希尔伯特变换的定义与性质Hilbert变换：dtxtxtxH)(1)(ˆ)(Hilbert反变换：dtxtxtxH)(ˆ1)()(ˆ1时域：过t1的线性系统；频域：090理想移相器；性质1：ta和t为低频信号，则：)(cos)()(sin)()(sin)()(cos)(0000tttatttaHtttatttaH性质2：XXXXXXRRRRˆˆˆˆ15、随机信号的复信号表示例题：已知角度调制信号)](cos[2)(0tmttX为窄带信号，写出它的复信号表示式，并求该信号的复包络。解：tjtjmtmtjeeetmtjtmttXjtXtX0022sin2cos2ˆ~0016、窄带随机信号的标准表达式和统计特性例题：设窄带平稳过程ttYttXtnsin)(cos)()(证明：sin)(ˆcos)()(nnYRRR解：sinˆcossinsinc