全等三角形难题及答案

1、如图，在ABC中，ABBC，90ABC。F为AB延长线上一点，点E在BC上，BEBF，连接,AEEF和CF。求证：AECF。2、如图，D是ABC的边BC上的点，且CDAB，ADBBAD，AE是ABD的中线。求证：2ACAE。3、如图，在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点。求证：ABACPBPC。4、如图，BD、CE分别是ABC的边AC、AB上的高，F、G分别是线段DE、BC的中点求证：DEFG5、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE6、如图，在锐角ABC中，已知CABC2，ABC的平分线BE与AD垂直，垂足为D，若cmBD4，求AC的长参考答案1、思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段AE为边的ABE绕点B顺时针旋转90到CBF的位置，而线段CF正好是CBF的边，故只要证明它们全等即可。解答过程：90ABC，F为AB延长线上一点90ABCCBF在ABE与CBF中ABBCABCCBFBEBFABECBF(SAS)AECF。解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。2、思路分析：要证明“2ACAE”，不妨构造出一条等于2AE的线段，然后证其等于AC。因此，延长AE至F，使EFAE。解答过程：延长AE至点F，使EFAE，连接DF在ABE与FDE中AEFEAEBFEDBEDEABEFDE(SAS)BEDFADFADBEDF，ADCBADB又ADBBADADFADCABDF，ABCDDFDC在ADF与ADC中ADADADFADCDFDCADFADC(SAS)AFAC又2AFAE2ACAE。解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行3、思路分析：欲证ABACPBPC，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段ABAC。而构造ABAC可以采用“截长”和“补短”两种方法。解答过程：法一：在AB上截取ANAC，连接PN在APN与APC中12ANACAPAPAPNAPC(SAS)PNPC在BPN中，PBPNBNPBPCABAC，即AB－ACPB－PC。法二：延长AC至M，使AMAB，连接PM在ABP与AMP中12ABAMAPAPABPAMP(SAS)PBPM在PCM中，CMPMPCABACPBPC。解题后的思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。4、连结DG，EG，易得EGDG再由三线合一，得证6、以A为圆心，以AB为半径，画弧交BC于N，连结AN，则ABANCABNANB2，CCAN，NCAN过N作ACNM，交AC于M，且得MCAM易证ABD≌ANM，得cmAMBD4cmAC8