高中数学人教A版(课件)必修四-第二章-平面向量-2.5.1、2.5.2-平面向量应用举例

上一页返回首页下一页阶段一阶段二阶段三学业分层测评2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例上一页返回首页下一页1．掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．(重点)2．学会用向量方法解决实际问题的基本方法．(难点)上一页返回首页下一页[基础·初探]教材整理1平面几何中的向量方法阅读教材P109～P110例2以上内容，完成下列问题．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用_______表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为_______问题；(2)通过_______运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把______________“翻译”成几何关系．向量向量向量运算结果上一页返回首页下一页判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若△ABC是直角三角形，则有AB→·BC→＝0.()(2)若AB→∥CD→，则直线AB与CD平行．()【解析】(1)错误．因为△ABC为直角三角形，∠B并不一定是直角，有可能是∠A或∠C为直角．(2)错误．向量AB→∥CD→时，直线AB∥CD或AB与CD重合．【答案】(1)×(2)×上一页返回首页下一页教材整理2向量在物理中的应用阅读教材P111例3至P112例4以上内容，完成下列问题．1．物理问题中常见的向量有_________________________等．2．向量的加减法运算体现在____________________________________．3．动量mv是向量的_______运算．4．功是_______与____________________的数量积．力，速度，加速度，位移力，速度，加速度，位移的合成与分解数乘力F所产生的位移s上一页返回首页下一页已知力F＝(2，3)作用在一物体上，使物体从A(2，0)移动到B(－2，3)，则F对物体所做的功为________焦耳．【解析】由已知位移AB→＝(－4，3)，∴力F做的功为W＝F·AB→＝2×(－4)＋3×3＝1.【答案】1上一页返回首页下一页[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：上一页返回首页下一页[小组合作型]向量在平面几何中的应用如图2－5－1，在正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且AE、CD交于点P，求证：BP⊥DC．图2－5－1上一页返回首页下一页【精彩点拨】先表示出图中向量对应的线段，再计算所需向量的数量积．【自主解答】设PD→＝λCD→，并设正三角形ABC的边长为a，则有：CD→＝23BA→－BC→，PA→＝PD→＋DA→＝λCD→＋13BA→＝λ23BA→－BC→＋13BA→＝13(2λ＋1)BA→－λBC→.又EA→＝BA→－13BC→，PA→∥EA→，上一页返回首页下一页∴13(2λ＋1)BA→－λBC→＝kBA→－13kBC→，于是有13（2λ＋1）＝k，λ＝13k，解得λ＝17，k＝37，∴PD→＝17CD→，∴BP→＝BD→＋DP→＝17BC→＋47BA→，从而BP→·CD→＝17BC→＋47BA→·23BA→－BC→＝821a2－17a2－1021a2cos60°＝0.由向量垂直的条件知，BP⊥DC．上一页返回首页下一页垂直问题的解决，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积为零，而在此过程中，则需运用线性运算，将目标向量用基底表示，通过基底的数量积运算式使问题获解，如本题便是将向量BP→，CD→由基底BA→，BC→线性表示．当然基底的选取应以能够方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知．上一页返回首页下一页[再练一题]1．如图2－5－2所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC．【导学号：00680060】图2－5－2上一页返回首页下一页【证明】设AB→＝a，AC→＝b，AD→＝e，DB→＝c，DC→＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d，∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知a2－b2＝c2－d2，∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0.∵BC→＝BD→＋DC→＝d－c，∴AD→·BC→＝e·(d－c)＝0，∴AD→⊥BC→，即AD⊥BC．上一页返回首页下一页向量在解析几何中的应用过点A(－2，1)，求：(1)与向量a＝(3，1)平行的直线方程；(2)与向量b＝(－1，2)垂直的直线方程．【精彩点拨】在直线上任取一点P(x，y)，则AP→＝(x＋2，y－1)，由AP→∥a可以得(1)，由AP→⊥b可以得(2)．上一页返回首页下一页【自主解答】设所求直线上任意一点P(x，y)，∵A(－2，1)，∴AP→＝(x＋2，y－1)．(1)由题意知AP→∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0，即x－3y＋5＝0，∴所求直线方程为x－3y＋5＝0.(2)由题意，知AP→⊥b，∴(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0，即x－2y＋4＝0，∴所求直线方程为x－2y＋4＝0.上一页返回首页下一页1．本题求解的关键是在所求直线上任取一点P(x，y)，从而得到向量AP→的坐标．2．用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题．上一页返回首页下一页[再练一题]2．已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－6，点R是直线l上的一点，若RA→＝2AP→，求点P的轨迹方程．【解】设P(x，y)，R(x0，y0)，则RA→＝(1，0)－(x0，y0)＝(1－x0，－y0)，AP→＝(x，y)－(1，0)＝(x－1，y)．上一页返回首页下一页由RA→＝2AP→，得1－x0＝2（x－1），－y0＝2y，又∵点R在直线l：y＝2x－6上，∴y0＝2x0－6，∴1－x0＝2x－2，①6－2x0＝2y，②由①得x0＝3－2x，代入②得6－2(3－2x)＝2y，整理得y＝2x，即为点P的轨迹方程．上一页返回首页下一页向量在物理中的应用(1)一个质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角且|F1|＝2，|F2|＝4，则|F3|＝()A．6B．2C．23D．27(2)某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．【精彩点拨】(1)可利用F1＋F2＋F3＝0分离F3得F3＝－F1－F2，平方可求|F3|.(2)用相关向量表示行驶速度与风速，可利用三角形法则求解．上一页返回首页下一页【自主解答】(1)因为物体处于平衡状态，所以F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|＝|F1＋F2|＝（F1＋F2）2＝|F1|2＋|F2|2＋2F1·F2＝4＋16＋2×2×4×12＝27.上一页返回首页下一页【答案】D(2)设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v－a，设OA→＝－a，OB→＝－2a，PO→＝v，因为PO→＋OA→＝PA→，上一页返回首页下一页所以PA→＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速，因为PO→＋OB→＝PB→，所以PB→＝v－2a.于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB→.由题意：∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而，△POB为等腰直角三角形，所以PO＝PB＝2a，即|v|＝2a，所以实际风速是每小时2a千米的西北风．上一页返回首页下一页向量在物理中的应用：(1)求力向量，速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解．(2)用向量方法解决物理问题的步骤：①把物理问题中的相关量用向量表示；②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；③结果还原为物理问题．上一页返回首页下一页[再练一题]3．在静水中划船速度的大小是每分钟40m，水流速度的大小是每分钟20m，如果一小船从岸边O处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？【解】如图所示，上一页返回首页下一页设向量OA→的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量OB→的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以OA→，OB→为邻边作平行四边形OACB，连接OC．依题意OC⊥OA，BC＝OA＝20，OB＝40，∴∠BOC＝30°.故船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进．上一页返回首页下一页[探究共研型]向量的数量积在物理中的应用探究1向量的数量积与功有什么联系？【提示】物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．上一页返回首页下一页探究2用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？【提示】用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中．上一页返回首页下一页两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20，15)移动到点B(7，0)(其中i，j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)．求(1)F1，F2分别对该质点做的功；(2)F1，F2的合力F对该质点做的功．【精彩点拨】向量数量积的物理背景是做功问题，所以本题需将做功问题转化为求向量的数量积的问题．上一页返回首页下一页【自主解答】AB→＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j.(1)F1做的功W1＝F1·s＝F1·AB→＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28J.F2做的功W2＝F2·s＝F2·AB→＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23J.(2)F＝F1＋F2＝5i－4j，所以F做的功W＝F·s＝F·AB→＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5J.上一页返回首页下一页1．求几个力的合力：可以用几何法，通过解三角形求边长及角，也可以用向量法求解．2．如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cosθ，其中θ是F与s的夹角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积．上一页返回首页下一页[再练一题]4．如图2－5－3所示，已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50N，一个质量为8kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20m，则力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(|g|＝10m/s2)图2－5－3上一页返回首页下一页【解】设木块的位移为s，则：W＝F·s＝|F|·|s|cos30°＝50×20×32＝5003(J)．因为F在竖直方向上的分力的大小为|F1|＝|F|·sin30°＝50×12＝25(N)，所以物体所受的支持力的大小为|FN|＝|mg|－|F1|＝8×10－25＝55(N)．上一页返回首页下一页所以摩擦力的大小为|f|＝|μFN|＝0.02×55＝1.1(N)．又f与s反向，所以f·s＝|f|·|s|cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．即F与f所做的功分别是5003J与－22J.上一页返回首页下一页[构建·体系]上一页返回首页下一页1．过点M(2，3)，且垂直于向量u＝(2，1)的直线方程为()A．2x＋y－7＝0B．2x＋y＋7＝0C．x－2y＋4＝0D．x－2y－4＝0【解析】设P(x，y)是所求直线上任一点，则MP→⊥u，又∵MP→＝(x－2，y－3)，∴2(x－2)＋(y－3)＝0，即2x＋y－7＝0.【答案】A上一页返回首页下一页2．若向量OF1→＝(1，1)，OF2→＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F