Sard定理及其应用

Sard定理证明及其应用摘要本文以Sard定理为中心来展开。首先给出了一些关于正则值的预备知识，接着证明了Sard定理，最后应用该定理证明了紧致情形的Whitney定理。关键词：Sard定理，正则值，Whitney定理AbstractInthispaper,weregardSardTheoremasthemainideatoexpand.Atfirst,weprovidesomepreliminaryknowledgeabouttheregularvalues.Secondly,weprovetheSardTheorem.Intheend,weusethistheoremtoproveWhitneyTheoreminthecompactcase.Keywords:SardTheorem,regularvalues,WhitneyTheorem目录第一章绪论…………………………………………………………………………………………….1第二章预备知识……………………………………………………………………………………….1第三章Sard定理的证明………………………………………………………………………………..4第四章Sard定理的应用………………………………………………………………………………..10参考文献………………………………………………………………………………………………….121一、绪论随着近代科学的飞速发展，正则值和Sard定理等较深的知识不仅成为数学本身的最基础、最重要、最活跃的研究领域，而且在数学的其它分支中已有越来越广泛、深刻而富有成效的应用。而Sard定理的证明和应用显得尤为重要。二、预备知识自从坐标法问世以来，人们热衷于研究各种方程式所表示的曲线或曲面。设U是nR中的开集，nRUf:是rC映射。对这样一般的f和任意的nRb，方程bxf的解集合bf1可能相当复杂，与通常曲线或曲面的几何直观大相径庭。因此有必要考察：哪些nRb能保证bf1成为rC流形？这就引出了正则值得概念。定义1.1设M和N是微分流形，N的维数nNdim。又设NMf:是可微映射。（1）如果Mp使得nfrankp，那么我们就称p为f的临界点。f的全体临界点的集合记为fC或者fC。如果Mp使得nfrankp，那么我们就称p为f的正则点。f的全体正则点的集合是fCMCMf\\。（2）如果Nq使得fCqf1，那么我们就称q为f的临界值。如果Nq使得fCqf1，2那么我们就称q为f的正则值。注f的全体临界值的集合是fCf。f的全体正则值得集合是fCfN\（请注意：不是fCMf\）。在正则值的定义中，包括qf1的情形，即：“不是值”的Nq也属正则值之列。下面的定理显示了正则值概念的重要性。定理1.2（正则值原像定理）设M和N是rC流形（1r），NMf:是rC映射，Nq是f的正则值，qf1。则qfS1是M的rC正则子流形，并且NMSdimdimdim。（显然S是M的闭子集，因而是闭子流形。）证明我们利用淹没映射的典范局部表示。对任意的qfSp10，存在0p点邻近的M的局部坐标图卡,U和q点邻近的N的局部坐标图卡,V，使得VUfqp,0,00，并且使得Uff|~1，其中nnnmmRRRR:是从乘积空间nnmRR到第二个因子空间nR的投射。因为0~11fUpqfUp，所以00~11nmRUfUqfU。（请注意：对于nm的情形，结论仍成立。）□下面的“唱片引理”是正则值原像定理得重要特殊情形。引理1.3（唱片引理）设M和N是rC流形（1r），M是紧致的，NMdimdim。又设NMf:是rC映射。如果Nq是f的正则值并且qf1，那么（1）Mqf1是有限点集：kppqf,,11；3（2）存在q在N中的开邻域V，使得kUUVf11，其中kUU,,1是M中两两不相交的开集，iiUp，并且VUUfii:|是rC同胚ki,,1。证明根据定理1.2（正则值原像定理），qf1是M的0维子流形，也就是由一些孤立点组成的子集。但qf1作为紧空间M的闭子集也是紧致的，所以qf1是有限点集kpp,,1，这证明了（1）。因为NMfrankipdimdim，所以f在ip点邻近是局部rC同胚，即存在ip在M中的开邻域iW和q点在N中的开邻域iV，使得iiiVWWf:|是rC同胚ki,,1。必要时适当缩小各iW，可设这些iW是两两不相交的：jiWWji,。显然iMfWki1\是N中的紧致集并且不包含q点，所以iMfiVWVkiki11\\是q点的开邻域。因为ikiW1以外的点不可能经f映入V中，所以kiiWVf11。我们记kiVfWUii,,1,1。则有4,,,1,,11111kiVVVVWfVfWfUfVfVfWUiiiikiikii并且VUUfii:|是rC同胚。我们证明了（2）。□在上面的讨论中，我们又一次用到集合与映射的一个关系式：设X和Y是集合，YXf:是映射，YBXA,,则BAfBfAf1。既然正则值具有如上面定理1.2所述的良好性质，人们自然关心这样的正则值是否有足够多？下面的Sard定理肯定地回答了这个问题。三、Sard定理的证明引理2.1如果闭区间baI,被一族长度都不超过的开区间J所覆盖，那么存在J中有限个开区间kJJ,,1，使得IJJIkiikii2,11。证明首先，不妨设J由有限个开区间组成。其次，有公共点的三个开区间当中，必有其中两个区间覆盖了第三个区间（有最小左端点的区间和有最大右端点的区间必定覆盖第三个区间）。我们可以从J中删除多余的开区间，使得任意一点Ix至多属于J中的两个开区间，并且I的端点a和b各自只属于J中的一个开区间。删除了多余的开区间之后，剩下的有限个开区间kJJ,,1必定满足要求IJJIkiikii2,11。□5引理2.2设K是nR中的紧致集。如果集合1ntRtKK包含在1nRt的开集tWt之中，那么存在实数0，使得tnWttRttK,,1。（参看图18）证明连续函数txxxfxfn11,,在紧致集tWRK\上恒取正值，因而有正的下界，对这有tnWttRttK,,1。□定理2.3（Fubini定理的特殊情形）设nRS是至多可数个紧致集的并集。如果对任意的Rt，截集1ntRtSS都是1nRt中的零测集，那么S也是nR中的零测集。证明只须对KS是紧致集的情形作出证明。设R的闭区间I使得1nRIK。对任意的It，截集1ntRtKK是1nRt中的零测集。因而对任意的0，存6在1nR中的有限个开方体之并集tW，使得tttWWtK,。根据引理2.2，存在开区间1,0,ttttttJ，使得ttntWJRJK1。根据引理2.1，从IttJ之中可选择有限个itJ，使得22,11IJJIkitkitii。于是22,1111111IJWJWJWJRJKRIKKkittkitkittkikittntniiiiiiii。□引理2.4设V，W和N是微分流形，NVf:是可微映射，WVh:是微分同胚，并设1hfg，则有（1）gCxhfCx；（2）gCgfCf。定理2.5（Sard定理）设M和N是C流形，NMf:是C映射，则fCf是N中的零测集。因而几乎所有的Nq都是f的正则值。证明设mMdim，nNdim。对于nm的情形，我们知道Mf是N中的零测集，其子集fCf当然也是N中的零测集。下面对M的维数m作归纳，以完成定理得证明。因为任何（满足第二可数公理的）流形都可以表示成可数个局部坐标域的并集，所以不妨设UM是mR中的开集，nRN。记fCC。并以jC表示U中使得f的不超过j阶的所有偏导数都取0值得那些点x的集合。显然有（2.1）kCCCC21；7（2.2）kkkCfCCfCCfCCfCf\\\1211。我们将证明：（1）1\CCf是零测集；（2）jjCCf\1是零测集，,3,2j；（3）存在自然数k，使得kCf是零测集。（1）的证明。设a是1\CC中的任意一点。不妨设011axf。考察这样一个映射mmxxxfxxh,,,,,:211。因为aDh的秩为m，所以存在mR中a点的开邻域V和ah点的开邻域W，使得Vh|是从V到VhW的光滑微分同胚。我们定义nRWhfg:1。因为1\CC可以用可数个这样的V覆盖，所以只须证明VCChgVCCf11\\是零测集。证明这一事实要用到引理2.3。须指出VCCf1\是至多可数个紧致集的并集。事实上，开集VCRn1\是至多可数个紧致集的并集。闭集C与之的交集当然也是，而VCRCVCCni1\\。由此得知VCCf1\是至多可数个紧致集的并集。8借助于交换图表（图19），容易看出在W上的映射g具有如下形式：zgzgzzzgnm,,,,,211。这可以写成,,,,,,2tgtgttgn，其中mzz,,2。如果用tg表示这样一个从1mRtW到1nR的映射：,,,,2tgtggnt，则有tDgtDg*01,。从g和Dg的表示式可以看出，对于WVCChE1\应有ttttgCgtEgEg。依据归纳假设，ttgCg是1nR中的零测集，因而tEg是1nRt中的零测集。于是，根据引理2.3可以断定Eg是nR中的零测集。即VCCf1\是nR中的零测集。这证明了（1）。（2）的证明。对于jjCCa\1，不妨设021axxxfjiij。若记xxxfxjiij21，9则有（2.3）01ax，（2.4）jjCCxx\,01。考察映射mmxxxxxh,,,,,:21。由（2.3）可知，存在mR中a点的开邻域V和ah点的开邻域W，使得Vh|是从V到VhW的C同胚。仍记1hfg。再来考察从10mRW到nR的映射,00gg。按照归纳假设，00gCg是nR中的零测集。由（2.4）可知110\mjjRWVCCh，0011\\gCgVCChgVCCfjjjj。因而VCCfjj\1是nR中的零测集。这证明了（2）。（3）的证明。将证明：1nmk时，kCf是nR中的零测集。为此，只须对任意的m维闭方体UP，证明kCPf是零测集。对于kCPx0和任意的Px，我们有（2.5）100