初中数学总复习：《圆》基础练习题

108届初中数学总复习：《圆》基础练习题（一）选择题（每题2分，共20分）1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有………………（）（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个【提示】若三点在一条直线上，则不能作出过这三点的圆，故②不对．【答案】B．【点评】本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念，其中第②个命题不对的原因在于忽视了过三点作图的条件．2．下列判断中正确的是………………………………………………………………（）（A）平分弦的直线垂直于弦（B）平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧（C）弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧（D）平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦【提示】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦，因此平分弦所对的两条弧．【答案】C．3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB＝∠A′OB′＝60°，则………………（）（A）＝（B）＞（C）的度数＝的度数（D）的长度＝的长度【提示】因为在圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，而∠AOB＝∠A′OB′，所以的度数＝的度数．【答案】C．4．如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC等于………………………………………………………………………（）（A）60°（B）100°（C）80°（D）130°【提示】连结BC，则∠AEC＝∠B＋∠C＝21×60°＋21×100°＝80°．6．OA平分∠BOC，P是OA上任一点，C不与点O重合，且以P为圆心的圆与OC相离，那么圆P与OB的位置关系是………………………………………………（）（A）相离（B）相切（C）相交（D）不确定【提示】因为以点P为圆心的圆与OC相离，则P到OC的距离大于圆的半径．又因为角平分线上的一点到角的两边的距离相等，则点P到OB的距离也大于圆的半径，故圆P与OB也相离．【答案】A．7．△ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为（）（A）21（a＋b＋c）r（B）2（a＋b＋c）（C）31（a＋b＋c）r（D）（a＋b＋c）r【提示】连结内心与三个顶点，则△ABC的面积等于三个三角形的面积之和，所以△ABC的面积为21a·r＋21b·r＋21c·r＝21（a＋b＋c）r．【答案】A．8．如图，已知四边形ABCD为圆内接四边形，AD为圆的直径，直线MN切圆于点B，DC的延长线交MN于G，且cos∠ABM＝23，2则tan∠BCG的值为……（）（A）33（B）23（C）1（D）3【提示】连结BD，则∠ABM＝∠ADB．因为AD为直径，所以∠A＋∠ADB＝90°，所以cos∠ABM＝23＝cos∠ADB＝sinA，所以∠A＝60°．又因四边形ABCD内接于⊙O，所以∠BCG＝∠A＝60°．则tan∠BCG＝3．【答案】D．9．在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，若PA＝3，PB＝4，CD＝9，则以PC、PD的长为根的一元二次方程为…………………………………………………………（）（A）x2＋9x＋12＝0（B）x2－9x＋12＝0（C）x2＋7x＋9＝0（D）x2－7x＋9＝0【提示】设PC的长为a，则PD的长为（9－a），由相交弦定理得3×4＝a·（9－a）．所以a2－9a＋12＝0，故PC、PD的长是方程x2－9x＋12＝0的两根．【答案】B．（三）填空题（每题2分，共20分）11．某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为_____．【提示】如图，AB为弦，CD为拱高，则CD⊥AB，AD＝BD，且O在CD的延长线上．连结OD、OA，则OD＝22ADOA＝221213＝5（米）．所以CD＝13－5＝8（米）．【答案】8米．12．如图，已知AB为⊙O的直径，∠E＝20°，∠DBC＝50°，则∠CBE＝______．【提示】连结AC．设∠DCA＝x°，则∠DBA＝x°，所以∠CAB＝x°＋20°．因为AB为直径，所以∠BCA＝90°，则∠CBA＋∠CAB＝90°．又∠DBC＝50°，∴50＋x＋（x＋20）＝90．∴x＝10．∴∠CBE＝60°．【答案】60°．13．圆内接梯形是_____梯形，圆内接平行四边形是_______．【提示】因平行弦所夹的弧相等，等弧所对的弦相等，所以圆内接梯形是等腰梯形．同理可证圆内接平行四边形是矩形．【答案】等腰，矩形．14．如图，AB、AC是⊙O的切线，将OB延长一倍至D，若∠DAC＝60°，则∠D＝_____．【提示】连结OA．∵AB、AC是⊙O的切线，∴AO平分∠BAC，且OB⊥AB．又OB＝BD，∴OA＝DA．∴∠OAB＝∠DAB．∴3∠DAB＝60°．∴∠DAB＝20°．∴∠D＝70°．15．如图，BA与⊙O相切于B，OA与⊙O相交于E，若AB＝5，EA＝1，则⊙O的半径为______．【提示】延长AO，交⊙O于点F．设⊙O的半径为r．由切割线定理，得AB2＝AE·AF．∴（5）2＝1·（1＋2r）．3∴r＝2．【答案】2．16．已知两圆的圆心距为3，半径分别为2和1，则这两圆有______条公切线．【提示】因为圆心距等于两圆半径之和，所以这两圆外切，故有两条外公切线，一条内公切线．【答案】3．17．正八边形有_____条对称轴，它不仅是______对称图形，还是_____对称图形．【提示】正n边形有n条对称轴．正2n边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．【答案】8，轴，中心．18．边长为2a的正六边形的面积为______．【提示】把正六边形的中心与六个顶点连结起来，所得六个等边三角形全等．每个等边三角形的面积为43·（2a）2＝3a2，所以正六边形的面积为63a2．19．扇形的半径为6cm，面积为9cm2，那么扇形的弧长为______，扇形的圆心角度数为_____．【提示】已知扇形面积为9cm2，半径为6cm，则弧长l＝692＝3；设圆心角的度数为n，则1806πn＝3cm，所以n＝π90．【答案】3；π90．20．用一张面积为900cm2的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的底面直径为_____．【提示】面积为900cm2的正方形的边长为30cm，则底面圆的周长30cm．设直径为d，则d＝30，故d＝π30（cm）．【答案】π30cm．（三）判断题（每题2分，共10分）21．相交两圆的公共弦垂直平分连结这两圆圆心的线段……………………………（）【答案】×．【点评】相交两圆的连心线垂直平分公共弦，反过来公共弦不一定平分连结两圆圆心的线段．22．各角都相等的圆内接多边形是正多边形…………………………………………（）【答案】×．【点评】矩形内接于以对角线为直径的圆，但它不是正多边形．23．正五边形既是轴对称图形，又是中心对称图形…………………………………（）【答案】×．【点评】正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形．24．三角形一定有内切圆………………………………………………………………（）【答案】√．【点评】作三角形的两条角平分线，设交点为I，过I作一边的垂线段，则以点I为圆心，垂线段长为半径的圆即三角形的内切圆．25．平分弦的直径垂直于弦……………………………………………………………（）【答案】×．【点评】当被平分的弦为直径时，两直径不一定垂直．（四）解答题：（共50分）26．（8分）如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，求CD的长．【分析】因为AE＝1cm，EB＝5cm，所以OE＝21（1＋5）－1＝2（cm）．在Rt△OEF中可求EF的长，则EC、ED都可用DF表示，再用相交弦定理建立关于DF的方程，解方程求DF的长．【略解】∵AE＝1cm，BE＝5cm，∴⊙O的半径为3cm．∴OE＝3－1＝2（cm）．在Rt△OEF中，∠OEF＝60°，∴EF＝cos60°·OE＝21·2＝1（cm）．∵OF⊥CD，∴FC＝FD．∴EC＝FC－FE＝FD－FE，ED＝EF＋FD．即EC＝FD－1，ED＝FD＋1．由相交弦定理，得AE·EB＝EC·ED．∴1×5＝（FD－1）（FD＋1）．解此方程，得FD＝6（负值舍去）．∴CD＝2FD＝26（cm）．427．（8分）如图，AB为⊙O的直径，P为BA的延长线上一点，PC切⊙O于点C，CD⊥AB，垂足为D，且PA＝4，PC＝8，求tan∠ACD和sin∠P的值．【提示】连结CB，易证△PCA∽△PBC，所以BCAC＝PBPC．由切割线定理可求PB的长，所以tan∠ACD＝tan∠CBA＝BCAC＝PBPC．连结OC，则在Rt△OCP中可求sin∠P的值．【略解】连结OC、BC．∵PC为⊙O的公切线，∴PC2＝PA·PB．∴82＝4·PB．∴PB＝16．∴AB＝16－4＝12．易证△PCA∽△PBC．∴BCAC＝PBPC．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．又CD⊥AB，∴∠ACD＝∠B．∴tan∠ACD＝tanB＝BCAC＝PBPC＝168＝21．∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO＝90°．∴sinP＝POOC＝106＝53．28．（8分）如图，已知ABCD是圆内接四边形，EB是⊙O的直径，且EB⊥AD，AD与BC的延长线交于F，求证FDAB＝DCBC．【提示】连结AC，证△ABC∽△FDC．显然∠FDC＝∠ABC．因为AD⊥直径EB，由垂径定理得＝，故∠DAB＝∠ACB．又因为∠FCD＝∠DAB，所以∠FCD＝∠ACB，故△ABC∽△FDC，则可得出待证的比例式．【略证】连结AC．∵AD⊥EB，且EB为直径，∴＝．∴∠ACB＝∠DAB．∵ABCD为圆内接四边形，∴∠FCD＝∠DAB，∠FDC＝∠ABC．∴∠ACB＝∠FCD．∴△ABC∽△FDC．∴FDAB＝DCBC．29．（12分）已知：如图，⊙O1与⊙O2内切于点P，过点P的直线交⊙O1于点D，交⊙O2于点E；DA与⊙O2相切，切点为C．*（1）求证PC平分∠APD；（2）若PE＝3，PA＝6，求PC的长．【提示】（1）过点P作两圆的公切线PT，利用弦切角进行角的转换；在（2）题中，可通过证△PCA∽△PEC，得到比例式PEPC＝PCPA，则可求PC．*（1）【略证】过点P作两圆的公切线PT，连结CE．∵∠TPC＝∠4，∠3＝∠D．∴∠4＝∠D＋∠5，∴∠2＋∠3＝∠D＋∠5．∴∠2＝∠5．∵DA与⊙O相切于点C，∴∠5＝∠1．∴∠1＝∠2．即PC平分∠APD．（2）【解】∵DA与⊙O2相切于点C，∴∠PCA＝∠4．由（1），可知∠2＝∠1．∴△PCA∽△PEC．∴PEPC＝PCPA．即PC2＝PA·PE．∵PE＝3，PA＝6，∴PC2＝18．∴PC＝32．5．（14分）如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧的中点，连5结AD并延长，与过C点的切线交于P，OD与BC相交于点E．（1）求证OE＝21AC；*（2）求证：APDP＝22ACBD；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．【提示】（1）因为AO＝BO，可证OE为△ABC的中位线，可通过证OE∥AC得到OE为中位线；（2）连结CD，则CD＝BD，可转化为证明APDP＝22ACCD．先证△PCD∽△PAC，得比例式ACCD＝PCPD，两边平方得22ACCD＝22PCPD，再结合切割线定理可证得22ACCD＝PAPDPD2＝PAPD；（3）利用（2）可求DP、AP，再利用勾股定理、切割线定理可求出PC的长．（1）【略证】∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC．∵D为的中点，由垂径定理，得OD⊥BC．∴OD∥AC．又∵点O为AB的中点，∴点E为BC的中点．∴OE＝21AC．*（2）【略证】连结CD．∵∠PCD＝∠CAP，∠P是公共角，∴△PCD∽△PAC．∴PCPD＝ACCD．∴22PCPD＝22ACCD．又PC是⊙O的切线，∴PC2＝PD·DA．∴PAPDPD2＝22ACCD，∴PAPD＝22AC