《概率论与数理统计(经管类)》(代码4183)自学考试复习提纲-附件1

《概率论与数理统计（经管类）》（4183）自学考试复习提纲第一章随机事件与概率1、排列组合公式：排列数)!(!nmmPnm从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。组合数)!(!!nmnmCnm从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。例如：袋中有8个球，从中任取3个球，求取法有多少种？解：任取出三个球与所取3个球顺序无关，故方法数为组合数388*7*6561*2*3C注：排列数经常用组合数及乘法原理得到，并不直接写出。2、加法和乘法原理：加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m×n种方法来完成。例1、从北京到上海的方法有两类：第一类坐火车，若北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火1、火2、火3，则坐火车的方法有3种；第二类坐飞机，若北京到上海的飞机有早、晚二班飞机，分别记作飞1、飞2。问北京到上海的交通方法共有多少种。解：从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共5种。它是由第一类的3种方法与第二类的2种方法相加而成。例2、从北京经天津到上海，需分两步到达。第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班，记作汽1、汽2、汽3第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班，记作飞1、飞2问从北京经天津到上海的交通方法有多少种？解：从北京经天津到上海的交通方法共有：①汽1飞1，②汽1飞2，③汽2飞1，④汽2飞2，⑤汽3飞1，⑥汽3飞2。共6种，它是由第一步由北京到天津的3种方法与第二步由天津到上海的2种方法相乘3×2=6生成。3、基本事件、样本空间和事件：如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。随机试验所有可能结果构成的集合为样本空间，记为。中的元素称为样本点，记为。样本空间的任一子集称为随机事件。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。必然事件：在一次试验中，一定出现的事件，叫必然事件，习惯用表示必然事件。例如，掷一次骰子，点数≤6的事件一定出现，它是必然事件。不可能事件：在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用表示不可能事件。例如，掷一次骰子，点数大于6的事件一定不出现，它是不可能事件。4、事件的关系与运算：①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA如果同时有BA，AB，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者AB。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：AB，或者AB。AB，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。②运算：交换律：,ABBAABBA结合律：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配律：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根律：BABA，BABA例3、A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示以下事件。（1）A，B，C三事件中，仅事件A发生（2）A，B，C三事件都发生（3）A，B，C三事件都不发生（4）A，B，C三事件不全发生（5）A，B，C三事件只有一个发生（6）A，B，C三事件中至少有一个发生解：（1）ABC（2）ABC（3）ABC（4）ABC（5）ABCABCABC（6）ABC例4、某射手射击目标三次：A1表示第1次射中，A2表示第2次射中，A3表示第3次射中。0B表示三次中射中0次，1B表示三次中射中1次，2B表示三次中射中2次，3B表示三次中射中3次，请用1A、2A、3A的运算来表示0B、1B、2B、3B。解：（1）0123BAAA（2）1123123123BAAAAAAAAA（3）2123123123BAAAAAAAAA（4）3123BAAA例5、A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示下列事件。（1）A，B都发生且C不发生（2）A与B至少有一个发生而且C不发生（3）A，B，C都发生或A，B，C都不发生（4）A，B，C中最多有一个发生（5）A，B，C中恰有两个发生（6）A，B，C中至少有两个发生（7）A，B，C中最多有两个发生解：（1）ABC（2）()ABC（3）ABCABC（4）ABCABCABCABC（5）ABCABCABC（6）ABACBC（7）ABC例6、若Ω=｛1，2，3，4，5，6｝；A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝求（1）AB；（2）AB；（3）A；（4）B；（5）AB；（6）AB；（7）AB，（8）AB。解：（1）AB=｛1，2，3，5｝；（2）AB=｛1，3｝；（3）A=｛2，4，6｝；（4）B=｛4，5，6｝；（5）AB=｛4，6｝；（6）AB=｛2，4，5，6｝；（7）AB=｛2，4，5，6｝；（8）AB=｛4，6｝由本例可验算对偶律，BABA，BABA正确例7、A，B，C为三事件，说明下列表示式的意义。（1）ABC；（2）ABC；（3）AB；（4）ABCABC解：（1）ABC表示事件A，B，C都发生的事件。（2）ABC表示A，B都发生且C不发生的事件。（3）AB表示事件A与B都发生的事件，对C没有规定，说明C可发生，也可不发生。∴AB表示A与B都发生的事件。（4）()ABCABCABCCAB所以ABCABC表示A与B都发生的事件。5、概率的公理化定义：设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1°0≤P(A)≤1，2°P(Ω)=13°对于两两互不相容的事件1A，2A，…有11)(iiiiAPAP（3°通常称为可列（完全）可加性）则称P(A)为事件A的概率。6、古典概型：1°n21,，2°nPPPn1)()()(21。设任一事件A，它是由m21,组成的，则有P(A)=)()()(21m＝)()()(21mPPPnm基本事件总数所包含的基本事件数A例8、掷三次硬币，设A表示恰有一次出现正面，B表示三次都出现正面，C表示至少出现一次正面，求：（1）P（A）；（2）P（B）；（3）P（C）解：样本空间Ω=｛正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反｝；（1）3()8PA（2）1()8PB（3）7()8PC7、常用公式：加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)例9、若P（A）=0.5，P（A+B）=0.8，P（AB）=0.3，求P（B）解：因为P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）∴P（B）=P（A+B）+P（AB）-P（A）=0.8+0.3-0.5=0.6减法公式：P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P(B)=1-P(B)例10、已知P（B）=0.8，P（AB）=0.5，求()PAB。解：()()()()0.3PABPBAPBPAB。例11、若A与B互不相容，P（A）=0.5，P（B）=0.3，求()PAB。解：（1）P（A+B）=P（A）+P（B）=0.8根据对偶公式ABAB所以()()1()0.2PABPABPAB。条件概率：定义设A、B是两个事件，且P(A)0，则称)()(APABP为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为)/(ABP)()(APABP。乘法公式：)/()()(ABPAPABP更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)0，则有21(AAP…)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP……21|(AAAPn…)1nA。事件独立性：①两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP，则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。②多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，那么A、B、C相互独立。对于n个事件的独立性，可类似定义。例12、甲、乙、丙三人独立地向同一目标各射击一次,他们击中目标的概率分别为0.7，0.8和0.9，求目标被击中的概率。解：记A={目标被击中}，则994.0)7.01)(8.01)(9.01(1)(1)(APAP全概公式：设事件nBBB,,,21满足1°nBBB,,,21两两互不相容，),,2,1(0)(niBPi，2°niiBA1，则有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。例13、有两批相同的产品,第一批产品共14件,其中有两件为次品,装在第一个箱中;第二批有10件,其中有一件是次品,装在第二个箱中。今在第一箱中任意取出两件混入到第二箱中,然后再从第二箱中任取一件,求从第二箱中取到的是次品的概率。解：用)2,1,0(iAi表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数i”。用B表示事件“从第二箱中取到的是次品”。则211212122201222214141466241(),(),(),919191CCCCPAPAPACCC01()12PBA，12()12PBA，23()12PBA，根据全概率公式，有：283)()()()()()()(221100ABPAPABPAPABPAPBP贝叶斯公式：设事件1B，2B，…，nB及A满足1°1B，2B，…，nB两两互不相容，)(BiP0，i1，2，…，n，2°niiBA1，0)(AP，则1()(|)(|)()(|)iiinjjjPBPABPBAPBPAB，i=1，2，…n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP，（1i，2，…，n），通常叫先验概率。)/(ABPi，（1i，2，…，n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。例14、设男女两性人口之比为51:49,男性中的5%是色盲患者,女性中的2.5%是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人,恰好是色盲患者,求此人为男性的概率。解：用B表示色盲，A表示男性，则A表示女性，由已知条件，显然有：,025.0)(,05.0)(,49.0)(,51.0)(ABPABPAPAP因此：根据贝叶斯公式，所求概率为：151102)()()()()()()()()()()()(ABPAPABPAPABPAPBAPABPABPBPABPBAP伯努利概型：我们作了n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp1，用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率，knkknnqpkPC)(，nk,,2,1,0。例1