失业理论：搜寻匹配模型(重庆大学-吴永球)

1《宏观经济学》失业理论——搜寻匹配模型重庆大学贸易与行政学院吴永球一．McCall模型1．假设：(ⅰ)劳务市场上，存在工人与厂商两个主体；双方都依利益最大化作出决策：工人追求一生期望总收入最大化，厂商追求利润最大化。(ⅱ)动态均衡假定：在均衡状态下，就业工人总数L、失业工人总数U、工资w等均为常数（不考虑经济增长、劳动供给增加等因素），工人在不同状态之间的流动达到动态平衡，即单位时间内新增就业人数=新增失业人数。2．模型代表性工人最优决策的目标是：00()maxtttVEy(1.1)其中，t是折现因子，ty是工人的动态收入。现对ty作如下说明：(ⅰ)ty依赖于工人的工作状态tS：2,,ttttwSEycSU(1.2)其中，tw是就业时的工资，c为失业保险金，厂商为求职者提供的工资为连续随机变量，分布函数为()F；Hw为最高工资，0()Fc、1()HFw。另假定工人一旦就业保持工资水平不变，直到被解雇或自己离职。tS为工人的工作状态，E表示就业状态，U表示失业状态。(ⅱ)状态：在职工人在任何一期内失业概率为b，假定劳动力市场上有充分多空岗，失业者无需等待就能遇到一位雇主，但仅当雇主提供工资0ww时，才接受该职位；0w被定义为失业者接受工作的保留工资。3．求解有关（1.1）中的值函数：若0t，工人就业且工资为w时，记为()EVw；若0t时工人失业，面临厂商提供w的工资，记为()UVw。在保留工资0w处，失业者对于接受与拒绝0w工作无差别，所以：00()()EUVwVw。因此有：000(),()(),EUEV(1.3)令：3()()HwUcQVwdFw(1.4)表示工人在失业状态下跨期收入的期望。由Bellman方程，有：()()max(),ESEwbVwbQSEVwVwcQSU(1.5)其中：1bb；式（1.5）的第2个方程表示，当工人处于失业状态时，他将在接受工资为w的工作（上文已假定劳务市场存在足够空岗，因而只要工资合理工人就可随时就业）与拒绝工作继续失业之间做出选择。由式（1.5）第一个方程得到：11()EwbQVwb(1.6)根据保留工资定义可知：00()()EUVwVwcQ(1.7)将式（1.7）与式（1.6）联立起来，得到：01wcbbQ(1.8)其中1；存在：40000000011()()()()()()()()HHHHwHwwEEc(1.9)将式（1.9）代入式（1.8），得到0w的方程：00()HwHwwcbwcFwdw(1.10)3．结论(ⅰ)将式（1.10）对b求导：00wb(1.11)同理可证：00wc、00w。(ⅱ)均衡失业率在均衡状态下，就业总数L为常量，即在一定时期内新增就业与失业人数相等，于是有：01()UFwbL(1.12)由式（1.12）可得均衡失业率：由式（1.4）由式（1.6）分部积分501()UbuLUbFw(1.13)4．缺陷(ⅰ)厂商提供工资外生的，不符合厂商理性条件；(ⅱ)工人不用等待可自由选择就业的假定。二．内生工资分布搜寻模型（Burdett-Mortensen,1998）1．模型的设定（ⅰ）厂商行为。厂商提出工资w在竞争的劳务市场上招聘工人，w是一个连续随机变量，其分布函数()F由模型内生的地决定。设Lw和Hw分别为最低与最高工资，即0()LFw、1()HFw。设厂商以工资w能雇到工人数为()lw，则在单位时间内所获利润为：()()wBwlw(2.1)其中，B为每个职工的单位产出。厂商以利润最大化为其决策目标。（ⅱ）工人行为。工人有在职E和失业U两种状态，若SE，则工人收入yw；以()G表示在职工人工资概率分布，则()G与()F相关但未必一致且1()HGw。在职人员可能被解雇或自动跳槽，失业工人在寻找工作6时可能要等待；被解雇工人数、跳槽工人数与遇到新职位的失业工人数都是Poisson过程，三个Poisson过程的强度分别为b、q和a；依据Poisson过程的性质，从0t到t这段时间内，在职人员被解雇的概率为1bte、被留用的概率为bte；b、q和a反映单位时间内被解雇工人数、跳槽工人数与遇到新职位的失业工人数。2．厂商决策厂商选择()lw使对任何的w都达到（2.1）中利润最大化，而完全竞争上，同质厂商都获最相同的平均利润，因而0()()ww，于是由（2.1）可以得到：00()()BwlwlwBw(2.2)在均衡状态下：（ⅰ）劳务市场中就业总数L，失业总数U都是固定常数，而且，对于给定的0()ww，工资w人在职人数亦保持不变。（ⅱ）在单位时间内，“新加入的工资w的在职工人平均数”()aUFw；“工资w的在职工人被解雇平均数”()bLGw；“工资w的在职工人跳到工资w职位的工人数”()()qLGwGw。（这里1()()GwGw）动态平衡要求：7()()()()aUFwbLGwqLGwGw(2.3)以Hww代入式（2.3），得到aUbL，可由此推出均衡的失业率：UbuULab(2.4)另以aUbL代入式（2.3）得到：()()()()qFwGwGwGwb(2.5)式（2.5）表明()Fw与()Gw相互决定。为了求出()Fw，令()()()FwFwwFw()()()GwGwwGw则：00[,]()lim[,]()lim()()()工字在工人平均提供工字在厂商平均(2.6)将（2.5）代入（2.6）得到：2()()bLlwnbqqGw(2.7)8以00()Gw代入上式，得到：0()()bLlwnbq(2.8)于是：00222()()()()()bqbLGwqqnlwbqwwqBw由式由式(2.7()2.2)(2.9)将（2.9）代入（2.5），得：2002024()bqwwBwwFwbqBw(2.10)由1()HGw从（2.9）式可得到：002HqB(2.11)一旦确定了0w，()Fw和Hw将随之确定；但保留工资则与工人的决策有关。3．工人决策工人跨期决策目标：00max()tEeytdt(2.12)同样，若0t，工人就业且工资为w时，记为()EVw；若0t时工人失业，面临厂商提供w的工资，记为()UVw。9在保留工资0w处，失业者对于接受与拒绝0w工作无差别，所以：0()EUVwV。（ⅰ）若0t时，工人处于就业状态，由Poisson过程性质，工人在0[,]t内保持原工作的概率为()bqte，因此在0[,]t内收入的期望折现值为：0()tbqsewds。在时间t，工人有三种可能状态：被解雇、保持原职和跳槽，三者概率分别为1bte、()bqte和1()btqtee，由Bellman方程，当0t时有：011()()()()()()()tbqsEtbtbqtUEbtqtVwewdsteeVeVweew(2.13)式中，()w是工人从工资w职位跳槽的最大期望折现收入：000()max(),()()()()()()()()()()()()HHHHHwEE(2.14)在0t下从（2.13）中解出()EVw：10()UEwbVqQwVwbq(2.15)在（2.14）中令0ww，得到：00()()()HwUEwwVGsdVs(2.16)将式（2.16）代入式（2.15）并利用0()EUVwV得到：00()()HwUEwVwqGsdVs(2.17)假定()EV可微，联立（2.14）和（2.15）得到：1()()EVwbqGw(2.18)（ⅱ）若0t工人处于失业状态，则由Bellman方程得：01()-()()tasUtatatUVecdsteeVeQ(2.19)其中：0000max,()()()()()()()()()HHHHwUEwwEwwEHEwwUEwQVVsdFsVsdFsVwFsdVsVFsdVs(2.20)11上式中，1()()FsFs。将（2.20）代入（2.19），在在0t下有：0()()HwUEwVcaFsdVs(2.21)结合（2.17）、(2.18)和（2.21）和，得到0w的方程：00()()HwHwbaFsdscwbqGs(2.22)由（2.9）、（2.10）和（2.11）代入（2.22）便可解出0w、Hw、()Fw和()Gw。Burdett-Mortensen与McCall模型区别：（ⅰ）厂商提供工资分布()F由模型内生地决定；（ⅱ）考虑到在职工人跳槽的可能性与失业工人在求职过程中的等待；（ⅲ）工资的确定与厂商的利润最大化的决策有关。三．匹配模型（Pissarides,1985）1.模型令L、U分别表示就业与失业总数；以V记空缺的职位数，于是LV是职位总数。假定累计的就业人数、失业人数与补缺人数是强度为a、b与q的Poisson过程。在单位时间内，一个职位产生的利润为：12,,Bw空缺不空缺(3.1)Bw含义如上，表示单位时间内维持一个职位的成本，可以认为反映了闲置的资本。定义如下的匹配函数：MAUV(3.2)式中，M为单位时间内的匹配数。2．工人行为工人的目标函数：00max()tEeytdt(3.3)如同前面一样，在0t时，就业状态值函数为EV，失业状态值函数为UV。类似上面的分析，得到就业时的目标函数Bellman方程（本模型中w是确定的）：01()()()tbsEtbtbtEUVewdsteeVeV(3.4)令0t，得到：UEwbVVb(3.5)同样，失业时的值函数为：1301()()()tasUtatatUEVecdsteeVeV(3.6)令0t，得到：EUcaVVa(3.7)联立（3.6）与（3.7）得到：()()EUawbcVabawcbVab(3.8)3．厂商决策厂商目标：00max()tEetdt(3.9)为了更好分析，不妨设代表性厂商只提供一个职位，对应于0t时，将该职位被占据时厂商收益值函数记为FV，而职位空缺时的值函数记为VV。均衡状态下，就业人数、空岗数、单位时间内匹配数皆为常数且相等：MbLaUqV(3.10)同时，进一步假定工人与厂商具有相同谈判能力，于是一个职位给工人带来的净收入与带给厂商的净收入平衡，并14假定职位可以无成本的增加，则有：EUFVFVVVVV(3.11)对问题（3.9）计算FV和VV。岗位被占据时的Bellman方程为：01()()()tbsFtbtbtFVVedsteeVeV(3.12)令0t，得到：VFBwbVVb(3.13)同样空岗时的Bellman方程为：01()()()()tqsFtqtqtVFVedsteeVeV(3.14)令0t，得到：FVqVVq