信号与线性系统课后习题答案5

1习题五题5.1求下列函数的单边拉普拉斯变换，并注明收敛域。（1）1-te−(4)cos(2t+45o)(6)te−sin(2t)(7)tte2−解：（1）F(S)=∫∞−−−=−0)1(dteestt111+−ss,0]Re[s(4)F(S)=∫∞−−=+0)452cos(dtetsto)424(2222+−+sss,0]Re[s(6)F(S)=∫∞−−−=0)2sin(dtetestt4)1(22++s,1]Re[−s(7)F(S)=∫∞−−−=02dtetestt2)2(1+s,2]Re[−s题5.2求下列图示信号的拉普拉斯变换。)(tft)(tft)(tft)sin(tπ(b)(e)(f)解：(b))2()1(2)()(−+−−=ttttfεεεQ∫∞−−=∴0)()(dtetfsFst=ssesess2121−−+−(e))]()2/()[((2)]2/()([2)(TtTtTtTTtttTtf−−−−−−−=εεεεQ∫∞−−=∴0)()(dtetfsFst=22212seeTTssT−−+−×(f))]1()()[sin()(−−=ttttfεεπQ∫∞−−=∴0)()(dtetfsFst=)1(22ses−−+ππ2题5.3利用常用函数的象函数及拉普拉斯变换的性质，求下列信号的拉普拉斯变换。（2）)]2()([−−−ttetεε（7）)()4/2sin(ttεπ−（9）∫tdxx0)sin(π（11）)]()[sin(22ttdtdεπ（15）)1()3(−−−ttetε（16）)()cos(tttetεβα−解：（2）stLT1)]([=εQ，sestLT21)]2([−=−∴ε)1(11)]}2()([{)1(2+−−−+=−−∴stestteLTεε（7）)()]2cos()2[sin(21)()4/2sin(tttttεεπ−=−Q)442(21)]()4/2[sin(22+−+=−∴sssttLTεπ（9）22)]()[sin(ππεπ+=sttLTQ，∫∫∞−=ttdxxxdxx)()sin()sin(0εππ2201])sin([πππ+×=∴∫ssdxxLTt（11）22)]()[sin(ππεπ+=sttLTQ22222)]}()[sin({ππεπ+=∴ssttdtdLT（15）stLT1)]([=εQ，sestLT−=−∴1)]1([ε，)1(11)]1([+−−+=−∴stesteLTε)2(2)1(3)3()1(2]11[)]1([−−+−−−++=+−=−∴sstessesdsdetteLTε（16）22)]()[cos(βεβ+=ssttLTQ22)()]()cos([βααεβα+++=∴−sstteLTt，2222222])[()(])([)]()cos([βαβαβααεβα++−+=+++−=∴−ssssdsdttteLTt3题5.4如已知因果函数)(tf的象函数11)(2+−=sssF，求下列函数的象函数。（1）)2(tfet−（2）)12(3−−tfet（3）)3(2tftet−（4）)12(−ttf解：（1）4/12/2/112)2(2)]2/([22+−=+−=sssstfLT4/12/)1()1(2/1)]2/([2++−+=−sstfeLTt（2）=−)]1([tfLTsess−+−112，=−)]12([tfLT2/212/)2/(2/1sess−+−=−−)]12([3tfeLTt2/)3(212/)3()2/)3((2/1+−++−+sess（3）=)]3([tfLT13/)3/(12+−ss，=−)]3([2tfeLTt13/)2()3/)2((12++−+ss=−)]3([2tfteLTt13/)2()3/)2((12++−+−ssdsd=22]7[)12(9+++sss（4）=−)]12([tfLT2/212/)2/(2/1sess−+−=−)]12([ttfLT2/212/)2/(2/1sessdsd−+−−=2/22)42()2(sessss−+−+题5.7求下列有始周期信号的象函数)(tft)sin(tβLβπβπ2βπ3βπ4)(tftL(b)(d)解：(b)∑∞=−∗−−=0)/2()]/()()[sin()(nntttttfβπδβπεεβQ,422)1()]}/()()[{sin(βββπεεββπ++=−−−setttLTs,∑∞=−−=−0211)]/2([nsentLTβπβπδ,∑∞=−×−−=∴0)]/2([)]}/()()[{sin()]([nntLTtttLTtfLTβπδβπεεβ)1(122sesβπββ−−+=(d)∑∞=−∗−−=0)()]2/()([)(nnTtTtttfδεεQsseTttLTT21)]2/()([−−=−−εε,∑∞=−−=−011]([nTsenTtLTδ)1(1)]([)]2/()([)]([20sTnesnTtLTTttLTtfLT−∞=+=−×−−=∴∑δεε题5.8求下列信号的拉普拉斯逆变换。（1）)4)(2(1++ss（3）235422++++ssss（5）)4(422++sss解：（1）42/122/1)4)(2(1+−+=++ssssQ，)()(21]42/122/1[])4)(2(1[4211teessLTssLTttε−−−−−=+−+=++∴（2）2112123312354222+−++=++++=++++sssssssssQ)()2()(]2354[2221teetssssLTttεδ−−−−+=++++∴（3）4241)4(42222+++−=++sssssssQ，)()2sin2cos1(])4(42[21tttsssLTε+−=++∴−5题5.9求下列象函数的拉普拉斯逆变换，粗略画出他们的波形图。（1）11+−−seTs（3）3)3(2++−ses（5）22)1(ππ++−ses解：（1）11)]([+=−steLTtεQ，)]()(]11[)()(1TteteseLTtfTttTs−−=+−=∴−−−−−εε，画出波形图如下图（1）（3）setLTs2)]2([−=−εQ，3)]2([)3(23+=−+−−seteLTstε，)2(]3[)(3)3(21−=+=∴−+−−teseLTtftsε，画出波形图如下图（3）（5）22)]()[sin(ππεπ+=sttLTQ，)1())1(sin()()sin(])1([)(221−−+=++=∴−−ttttseLTtfsεπεπππ)]1()()[sin(−−=tttεεπ，画出波形图如下图（5）t)(tft)(tf6−e)(tft)sin(tπ（1）（3）（5）题5.15描述某LTI系统的微分方程为)(4)()(2)(3)(tftftytyty+′=+′+′′，求在下列条件下的系统的零输入响应和零状态响应。（1）)()(ttfε=，0)0(=−y，1)0(=−′y解：（1）对原微分方程等式两边同时求单边拉普拉斯变换，令)]([)(tyLTsY=，)]([)(tfLTsF=，结合单边拉普拉斯变换的时域微分性质有6)(23423)0(3)0()0()(22sFsssssyysysY++++++−+−′+−=，211123123)0(3)0()0()(22+−+=++=++−+−′+−=ssssssyysysYx，211321234)(234)(22+++−=×+++=+++=ssssssssFssssYf，)]([)(1sYLTtyxx−=∴=)(][2teettε−−−；)]([)(1sYLTtyff−=∴=)(]32[2teettε−−+−题5.16描述某LTI系统的微分方程为)(4)()(2)(3)(tftftytyty+′=+′+′′，求在下列条件下的系统的零输入响应和零状态响应。（2）)()(2tetftε−=，1)0(=+y，2)0(=+′y解：（2）因为，零状态响应满足微分方程：)(2)()(2)(3)(2'tettytytytfffεδ−+=++，所以，0)0(=+fy，1)0('=+fy；1)0(=−y，1)0(=−′y；对原微分方程等式两边同时求单边拉普拉斯变换，令)]([)(tyLTsY=，)]([)(tfLTsF=，结合单边拉普拉斯变换的时域微分性质有)(23423)0(3)0()0()(22sFsssssyysysY++++++−+−′+−=221323423)0(3)0()0()(22+−+=+++=++−+−′+−=sssssssyysysYx，23)2(21321234)(234)(222+−+−+=+×+++=+++=ssssssssFssssYf，)]([)(1sYLTtyxx−=∴=)(]23[2teettε−−−；)]([)(1sYLTtyff−=∴=)(])32([2tetettε−−+−题5.17求下列方程所描述系统的冲激响应)(th和阶跃响应)(tg（1）)(3)()(3)(4)(tftftytyty−′=+′+′′解：（1）对原微分方程等式两边同时求初始状态为零的单边拉普拉斯变换，令)]([)(tyLTsYff=，)]([)(tfLTsF=，7==)()()(sFsYsHf3432++−sss，sssstLTsHtgLTsG1343)]([)()]([)(2×++−=×==ε，)(]32[)]([)(31teesHLTthttε−−−+−==，)(]321[)]([)(31teesGLTtgttε−−−−+−==题5.18已知系统函数和初始状态如下，求系统的零输入响应)(tyx（1）656)(2+++=ssssH，1)0()0(=−′=−yy解：（1）656)()()(2+++==ssssFsYsHfQ，)()6()()65(2sFssYssf+=++∴，等式两边求拉普拉斯逆变换得系统方程为)(6)()(6)(5)(tftftytyty+′=+′+′′，则有)(tyx满足微分方程：0)(6)(5)(=+′+′′tytytyxxx，该式两边求拉普拉斯变换得：332465665)0(5)0()0()(22+−+=+++=++−+−′+−=sssssssyysysYx)]([)(1sYLTtyxx−=∴=)(]34[32teettε−−−题5.19已知LTI系统的阶跃响应)(]1[)(2tetgtε−−=，欲使系统的零状态响应为)(]1[)(22tteetyttfε−−+−=，求系统的输入信号)(tf。解：)(1)2(2211)]()1[()]([)(2sHsssssteLTtgLTsGt=+=+−=−==−εQ22)(+=∴ssH，又)()()2(1211)]()1[()]([)(222sFsHssstteeLTtyLTsYttff=+++−=+−==−−εQ822/11)(++=∴sssF，)()5.01()]([)(21tesFLTtftε−−+==∴题5.22如图所示的复合系统，由4个子系统连接而成，各子系统的系统函数或冲激响应分别为：11)(1+=ssH，21)(2+=ssH，)()(3tthε=，)()(24tethtε−=，求复合系统的冲激响应)(th。)(1sH)(2sH)(3th)(4th∑)(ty)(tf解：)]()()([)()]([)(4321sHsHsHsHthLTsH−×==QsthLTsH1)]([)(33==，21)]([)(44+==sthLTsH22/3122/1)2)(1(1)21121(11)(+++−=++−=+−×+×+=∴ssssssssssssH，)()23221()]([)(21teesHLTthttε−−−+−==∴题5.28某LTI系统，在以下各种情况下初始状态相同。已知：当激励)()(1ttfδ=时，其全响应)()()(1tettytεδ−+=；当激励)()(2ttfε=时，其全响应)(3)(2tetytε−=。（1）如)()(23tetftε−=，求系统的全响应)(3ty；（2）如)]1()([