信号与线性系统题解--阎鸿森-第九章

信号与线性系统题解阎鸿森第九章习题答案9.1如图P9.1所示，两个理想模拟滤波器级联和并联，其中)(1H是低通，截止频率为1c；)(2H是高通，截止频率为2c：(a)当1c2c时，试证明，图P9.1(a)相当于一个理想带通滤波器，并确定其通带宽度。（b）当1c2c时，试证明，图P9.1(b)相当于一个理想带阻滤波器，并确定阻带宽度。（c）如果按图P9.1联接的是两个数字滤波器（离散时间滤波器），情况会是如何？)(tx)(ty(a)（b）解：（a）)(1H是低通，截止频率为1c；)(2H是高通，截止频率为2c11101{)(ccH，22201{)(ccH当1c2c时，otherwiseHcc01{)(12故级联后的滤波器为理想带通滤波器，其通带宽度为：21ccB。（b）当1c2c时，)(1H)(1H)(1H)(2HotherwiseHcc10{)(21，故级联后的滤波器为带阻滤波器，阻带宽度为：12ccB（c）数字滤波器结果与上类似。9.2图P9.2中的系统常用来从低通滤波器获得高通滤波器，反之亦然。(a)证明当)(H是截止频率为p的理想低通滤波器时，整个系统相当于一个理想高通滤波器。确定其截止频率，并粗略绘出其单位冲激响应。（b）如果)(H是一个截止频率为p的理想高通滤波器，证明整个系统相当于一个理想低通滤波器。并确定其截止频率。（c）如果把一个离散时间理想低通（或高通）滤波器按图P9.2联接，所组成的系统是理想的离散时间高通（或低通）滤波器吗？图P9.2解：（a）)(H是低通滤波器，截止频率为potherwiseHp01{)(整个系统的频率响应为：otherwiseHHp01{)(1)(1故整个系统为高通滤波器。其单位冲激响应为：tttthphp)sin()()(其波形如图所示。)(H)(tx)(ty（b）)(H是高通滤波器，截止频率为potherwiseHp01{)(整个系统的频率响应为：otherwiseHHp01{)(1)(1故整个系统相当于一个理想低通滤波器，其截止频率为p。（c）是。9.3某模拟低通滤波器的幅频特性如图P9.3所示。试对下列每种相位特性，求出该滤波器的单位冲激响应并概略绘出其波形。（a）∢)(H=0（b）∢)(H=ΩT，其中T为常数（c）∢)(H=0,2/0,2/解：（a）若∢)(H=0，则有：ttthcasin)(波形如图所示：（b）若∢)(H=ΩT,则有：TjabeHH)()()()(sin)()(TtTtTththcab图9.3（c)如∢)(H=0,2/0,2/，则0)(0)({)(aacjHjHH)(cH可视为如下的卷积：)]2()2([*)2()(ccacjHH2/)(sin)(2ttthcc9.4若某离散时间理想低通滤波器的单位脉冲响应为)(nh，频率响应如图P9.4所示。另一个新的滤波器的单位脉冲响应为)(1nh，且为奇数为偶数nnnhnh,0),2/()(1试确定并粗略画出新滤波器的频率特性)(1jeH。指出它属于哪一种滤波器（低通，高通，带通，带阻）。解：nnjnjnjjeHenhenheH)(][)()(2211,其频谱如下所示,它是一个带阻滤波器。)(jeH2c2c1)(jeH2cc129.5在许多滤波问题中，人们总希望相位特性是零或者是线性的。对因果滤波器，实现零相位是不可能的。然而，在非实时要求的情况下，零相位过滤是可能的。如果要处理的序列)(nx是有限长的，)(nh是一个具有任意相位特性的因果滤波器的单位脉冲响应，且)(nh是一个具有任意相位特性的因果滤波器的单位脉冲响应，且)(nh为实序列，则可以通过以下两种方法实现对)(nx的零相位过滤。（a）按以下三步进行，如图P9.5(a)所示。（b）按以下三步进行，如图P9.5(b)所示。分别对以上两种方法求出从输入)(nx到输出)(ny的整个系统的系统函数，单位脉冲响应，并证明该系统具有零相位特性。(1))(nx)(ng(1))(nx)(ng(2))(ng)(nr(2))(nx)(nr(3))()(nrny(3))()()(nrngny(a)(b)图P9.5解：（a）由图P9.5(a）可知：)()()(HXG又)(ng的傅立叶变换为)(G)(nr的傅立叶变换为)()()()()()(HHXHGR)()()()()(HHXRY又)(nh为实序列，则：2*)()()()()()(HXHHXY故系统函数为：21)()(HH单位冲激响应为：)(*)()(1nhnhnh，它具有零相位特性。)(nh)(nh)(nh)(nh)(H)()()(twtstx)()(tsty(b）由图P9.5(b）可知：)()()(HXG)()()(HXR)]()()[()()()(HHXRGY又)(nh为实序列，则)()(*HH：)}(Re{2)()()()()(*2HHHHHH这表明复合滤波器具有零相位特性。故系统函数为：21)()(HH单位冲激响应为：)()()(2nhnhnh。9.6频率选择性滤波器往往被用来分离两个加性信号。如果两个加性信号的频谱不重叠，则用滤波器就可达到目的。然而，当频谱有重叠时，把滤波器设计成从通带到阻带逐渐过渡的形状往往更为可取。本题旨在研究确定滤波器频率响应的一种方法，这种滤波器可以用来近似地分离频谱重叠的信号。设)(tx是一个复合信号，)()()(twtstx。我们希望设计一个LTI滤波器，从)(tx中分离出)(ts，如图P9.6（a）所示。也就是说，滤波器的频率响应)(H应使)(ty是对)(ts较好的近似。假定用)(作为)(ty与)(ts之间误差的度量，定义为2)()()(YS其中)(S和)(Y分别是)(ts和)(ty的傅立叶变换。（a）用)(S，)(H和)(W表示)(。其中)]([)(twFW。（b）限定)(H为实函数，因此)()(*HH。通过使)(对)(H的导数为零，确定使误差)(为最小的)(H。（c）证明：如果)(S和)(W不重叠，则（b）中的结果就变为一个理想滤波器。（d）如果)(S与)(W如图P9.6(b）所示，根据（b）的结果，确定并概略画出)(H。(a)(b)图P9.6(a)由图p9.6(a)可得：)()]()([)()()(HWSHXY故有：)()]()([)()()(HWSSYS22)()]()([)()()()(HWSSYS（b）)()]}()()[(Re{2)()()()()(*222HWSSWSHS=)}]()(Re{)()[(2)()()()(*2222WSSHWSHS令：0)()(H得：0)}]()(Re{)([2)()()(2*22WSSWSH2*2)()()}()(Re{)()(WSWSSH如果在某一个频率0处有0)()(00WS，则此时0)(0X，从而有0)(0Y。对此频率来说，)(0H可以取任意值。（c）如果)(S和)(W不重叠，则0)()(WS。设)(S在区域A为非零，)(W在区域B非零，则：1-220)(S)(W-1110当A时，0)(,0)(WS；当B时，0)(,0)(WS。在此情况下，)(H具有如下特性：当0)(,0)(WS时，1)()()(22SSH；当0)(,0)(WS时，0)(H；当0)(,0)(WS时，)(H可为任意值，当然可以规定为0)(H。由以上讨论可见，)(H在)(S与)(W不重叠时，具有理想滤波器特性。（d）根据图p9.6(b)和（b）的结果可得：202121111{)(H9.7题9.6讨论了当两个信号的频谱有重叠时，为了从加性信号中分离出一个信号，选择连续时间滤波器频率特性的一种特殊准则。试对离散时间的情况，导出与题9.6（b）中所得结果相对应的结果。分别用)(S，)(W，)(H，)(Y和)(代替题9.6中的)(S，)(W，)(H，)(Y和)(有：)()]()([)()()(HWSHXY)()]()([)()()(HWSSYS2)()]()([)()(HWSS假定)(H为实函数，相应有：)}]()(Re{)()[(2)()()()()(*2222WSSHWSHS-2-101210.5)(H令0)()(H，得：2*2)()()}()(Re{)()(WSWSSH同样，如果在某一个频率0处有0)()(WS，则此时0)(X，从而有0)(0Y。对此频率来说，)(0H可以取任意值。9.8在许多滤波器应用中，往往不希望滤波器的阶跃响应出现过冲。例如图象处理中，滤波器阶跃响应的过冲会产生图象轮廓的勾边现象。当滤波器的冲激响应始终非负时，可以消除过冲现象。（a）证明：如果连续时间滤波器的)(th始终大于或等于零，即0)(th，则该滤波器的阶跃响应是单调非减的函数，因而不会发生过冲。(b)证明：如果离散时间滤波器的单位脉冲响应总大于或等于零，即0)(nh，则其阶跃响应是单调非减的函数，因而不会发生过冲。解：(a)设)(ts为连续时间LTI滤波器的阶跃响应，则有：dttdsth)()(因此，当0)(th时，有0)(dttds，这表明)(ts是单调非减的函数，因而不会发生过冲。（b）设)(ns为离散时间LTI滤波器的阶跃响应，则有：)1()()(nsnsnh因此，当0)(nh时，有0)1()(nsns，这表明)(ns是单调非减的函数，因而不会发生过冲。9.9对因果的离散时间LTI系统，试推导出其频率响应的实部和虚部之间的依从关系。即离散时间的实部与虚部自满关系。解:设因果系统的单位脉冲响应为)(nh,则根据系统的因果性,有:)()()(nunhnh对上式两边同时取傅立叶变换,有:dkeeHeHkjjj2)(])2(11)[(21)(整理后有:2)(11)(1)(deeHeHjjj令:IRjjHHeH)(,带入上式并整理后有:22)2(21)2(21dctgHHjdctgHHjHHRIIRIR所以:22)2(21;)2(21dctgHHHdctgHHHRIIIRR9.10对图P9.1所示归一化滤波电路，分别求出其去归一化的实际元件参数，已知工作频率sradc/106，负载电阻KR10。解:由公式9.24,9.26,9.28得实际阻抗和归一化阻抗,实际感抗和归一化感抗,实际容抗和归一化容抗间满足如下关系:CCRCLLRLkRRRRcc9000101,001.0),((a)kRFCHLL1,3/10*4,0015.0921;(b)kRFCHLFCL1,10*5.0,3004.0,10