2006年7月温州第七届青少年数学国际城市邀请赛团体赛试题与解答繁体

海量资源尽在星星文库：溫州市隊名：___________________得分：__________________1.老師說：「要在一個三邊長為2，2，2x的三角形內部放置一個盡可能大的圓，則正實數x的值該是多少？」學生A說：「我想x＝1。」學生B說：「我認為2x。」學生C說：「你們回答都不對！」他們三人誰的回答是正確的？為什麼？解答：一方面三角形的面積＝(2)rx；另一方面，該三角形底邊上的高為24x，所以三角形面積24xx。可得242xxrx。當1x時，111.73r；當2x時，211.722r。取43x，則416161271.735125r，所以43x是一個更好的選擇。所以學生C的回答正確。註：當51x時，可取到r的最大值522514。2.一個三角形可被剖分成兩個等腰三角形，原三角形的一個內角為36˚，求原三角形最大內角的所有可能值。解答：（1）若剖分線不過點B。不妨設剖分線為AD，此時△BAD是(36,36,108)或者(36,72,72)的三角形。若△BAD是(36,36,108)的三角形，則△CAD或者是(144,18,18)第一個圖，或者是(72,54,54)第二個圖，或者(36,72,72)第三、四個圖.CBCBCBCBADADADAD（2）若剖分線過點B。不妨設為BE，則△CBE必定是(132,24,24)，△ABE是(144,12,12)的三角形。所以原三角形的最大內角可能是72,90,108,126,132。3.四個單位正方形以邊對邊相連接而成，可以拼成如圖五種不同的形狀。用一片“L”形(圖中第一個)分別與其餘四個中的一片拼成軸對稱圖形，請繪出所有可能之組合。解答：海量资源尽在星星文库：一片骨牌是由兩個單位正方形以邊對邊相連接而成，在每個正方形內標記上數字1、2、3、4或5，所以我們共可得標號為11，12，13，14，15，22，23，24，25，33，34，35，44，45，55的15片不同的骨牌。將這15片骨牌排成一個如圖的5×6的長方形，每片骨牌的邊界已經擦除，請試著把這些骨牌的邊界重新畫出來。解答：首先，注意到編號為55的骨牌一定是在矩形的中心，而編號22的骨牌只能是在右邊界處。此時，右上角編號為3的骨牌必與右側的2一起組成編號為23的骨牌.。所以，右下角的2只能與5一起組成編號為25的骨牌，而這個2上面的3只能組成33骨牌.。所以，可在圖中，把剩下的33、23對之間用一條線分隔.第三行的3只能與其上的5組成35編號的骨牌.如左圖。這時，第一行的5不能與其左側的3組成35編號的骨牌，只能與其下的1組成編號為15的骨牌。這使得左側只能為13、34編號的骨牌，這樣，左上角的骨牌為11和24。在右下角，必須出現編號為12的骨牌，此時，其餘的骨牌也就確定了。5.“幸運數”是指一個等於其各位數碼(十進位)和的19倍的正整數，求出所有的幸運數。解答：設10a＋b是一個至多兩位數，方程10a+b=19(a+b)僅當a=b=0時成立。所以，所有的幸運數至少是三位數。假設一個幸運數有m位數，4m，則該數至少為110m，其數碼和至多為9m，所以，117110mm。當m=4時，6841000不成立。而5m，更不成立。因此，所有的幸運數都是三位數，由100a+10b+c=19a+19b+19c，知9a=b+2c。當a=1時，可得(b，c)=(1，4)，(3，3)，(5，2)，(7，1)，(9，0)。當a=2時，可得(b，c)=(0，9)，(2，8)，(4，7)，(6，6)，(8，5)。當a=3時，可得(b，c)=(9，9)。當a3時，無解。所以共有11個幸運數：114,133,152,171,190,209,228,247,266,285和399。6.甲和乙在一個nn的方格表中做填數遊戲，每次允許在一個方格中填入數字0或者1（每個方格中只能填入一個數字），由甲先填，然後輪流填數，直至表格中每個小方格內都填了數。如果每一行中各數之和都是偶數，則規定為乙獲勝，否則當作甲獲勝。請問：海量资源尽在星星文库：(1)當n＝2006時，誰有必勝的策略？(2)對於任意正整數n，回答上述問題。解答：(1)當n=2006時，後填數的乙有必勝策略。用12的多米諾骨牌對表格進行分割，使得每一行都由1003塊多米諾組成，當甲對某塊多米諾的一個中填數時，乙也在該多米諾中填數，並且使得這塊多米諾中兩個數之和為偶數。依此策略，乙可以使得表格的每一行中各數之和都是偶數。故乙獲勝。(2)當n為偶數時，同上述操作，可知乙有必勝策略；當n為奇數時，甲有必勝策略：他可以先在第1行第1列的方格中寫上1，然後對第1行中其餘方格作前面的多米諾分割，採取同樣的操作方式，可使表格中第1行中各數之和為奇數。7.設n為任意奇正整數，證明：1596n+3202701000nnn能被2006整除。證明：因為200621759，所以為證結論成立，只需證n為奇正整數時，15961000270320nnnn能被2，17，59整除。顯然，運算式能被2整除。應用公式，n為奇數時，121()()nnnnnababaabb，121()()nnnnnababaabb。則由於159610005944，2703205910，所以15961000270320nnnn能被59整除。又1596－270＝1326＝17×78，1000－320＝680＝17×40，所以15961000270320nnnn能被17整除。故結論成立。8.將正整數中所有被4整除以及被4除餘1的數全部刪去，剩下的數依照從小到大的順序排成一個數列an：2,3,6,7,10,11,…。數列an的前n項之和記為Sn，其中n=1,2,3,…。求S=SSS200621.....的值。（其中x表示不超過x的最大整數）解答：易知2142nan，241nan，1,2,n，因此21234212()()()nnnSaaaaaa51321(83)n2583(2)2nnnn，2221224(41)(21)nnnSSannnnn，所以2222221(2)(21),(21)(2),nnnSnnSn故2[]2nSn，21[]21nSn，從而[]nSn，於是122006[][][]SSSS1220062006200720130212。9.平面上，正三角形ABC與正三角形PQR的面積都為1。三角形PQR的中心M在三角形ABC的邊界上，如果這兩個三角形重疊部份的面積為S，求S的最小值。MRQPCBA海量资源尽在星星文库：解答：在正△PQR的三個頂點處截去三個全等的正三角形，得到一個面積為23的正六邊形，則M是這個正六邊形的中心。若點M與△ABC的一個頂點重合，如左圖，易知正六邊形和△ABC的重疊部分面積是19。在中間的圖形中，把△ABC繞著點M順時針旋轉，則始邊所掃過的三角形和終邊所掃過的三角形全等，所以兩個三角形的公共部分面積是不變的。若點M在△ABC的邊上，不妨設在BC上，且靠近點C，如右圖所示.，過點M作AC的平行線MN，交邊AB於點N，則△BMN是正三角形.。因為MNBMCM，BM和MN都與正六邊形相交，所以△BMN與正六邊形的公共部分面積為19。當把正六邊形恢復成原來的正三角形時，公共部分面積不會減小.，所以兩個三角形公共部分面積的最小值為19，如左圖。10.設m是一個小於2006的四位數，已知存在正整數n，使得m－n為質數，且mn是一個完全平方數，求滿足條件的所有四位數m。解答由題設條件知：m－n=p，p是質數，則m=n+p，設mn=n(n+p)=2x，其中x是正整數，那麼22444npnx，即222(2)(2)nppx，於是2(22)(22)nxpnxpp，注意到p為質數，所以2221,22,nxpnxpp把兩式相加得212pn，進而212pm，結合10002006m,可得64189p，於是，質數p只能是67，71，73，79或83。從而，滿足條件的m為1156，1296，1369，1600，1764。