2010北京朝阳区高三第二学期统一练习一数学理

海量资源尽在星星文库：—2010学年度高三年级第二学期统一考试（一）数学试题（理工类）2010.4（考试时间120分钟满分150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数211ii等于（）A．21iB．21iC．－21D．212．右图是2010年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0—9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为21,aa，则一定有（）A．21aaB．12aaC．21aaD．21,aa的大小与m的值有关3．下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线3x对称的是海量资源尽在星星文库：（）A．)62sin(xyB．)32sin(xyC．)32sin(xyD．)62sin(xy4．一个简单几何体的正视图，侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆。其中正确的是（A．①②B．②③C．③④D．①④5．在区间][，内随机取两个数分别记为ba,，则使得函数222)(baxxxf有零点的概率为（）A．87B．43C．21D．416．已知点)0,0(1)4,3(2222babyaxP是双曲线渐近线上的一点，E，F是左、右两个焦点，若0FPEP，则双曲线方程为（）A．14322yxB．13422yxC．116922yxD．191622yx7．设},min{qp表示,pq两者中较小的一个，若函数}log,log213min{)(22xxxf，则满足xxf的1)(的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，+∞）C．),16()2,0(D．),161(8．一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为2，二面角D—AC—B的余弦值为31，则下列论断正确的是海量资源尽在星星文库：（）A．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3B．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4C．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为33D．不存在这样的球使得空间四边形ABCD的四个顶点在此球面上。第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．已知圆的极坐标方程为cos2，则圆心的直角坐标是；半径长为.10．圆422yx被直线0323yx截得的劣弧所对的圆心角的大小为.11．已知向量baba则),cos,1(),1,sin3(的最大值为.12．如图，圆O是ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，3,72BCABCD，则BD的长为；AC的长为.13．右边程序框图的程序执行后输出的结果是.14．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是－x，另一个是x+3，设第)(*Nnn次生成的数的个数为na，则数列}{na的前n项和nS；若1x，前．n次生成所有数．．．．．．中不同的数的个数为4,TTn则.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）在ABC中，角A、B，C，所对的边分别为cba,,，且.55sin,43AC（1）求Bsin的值；（2）若105ac，求ABC的面积。海量资源尽在星星文库：．（本小题满分13分）在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮。现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是2131，。两人投篮3次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响.（1）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；（2）若投篮命中一次得1分，否则得0分，用表示甲的总得分，求的分布列和数学期望。17．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC1的中点。（1）求证：CD//平面A1EB；（2）求证：1AB平面A1EB。（3）求直线EB1与平面AA1C1C所成角的正弦值。18．（本小题满分13分）已知函数bamxbaxmxxf,,,)1(3)(223R（1）求函数)(xf的导函数)(xf；（2）当1m时，若函数)(xf是R上的增函数，求baz的最小值；（3）当2,1ba时，函数)(xf在（2，+∞）上存在单调递增区间，求m的取值范围.海量资源尽在星星文库：．（本小题满分13分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为21，且经过点)23,1(，过点P（2，1）的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M.（1）求椭圆C的方程；（2）求直线l的方程以及点M的坐标；（3））是否存过点P的直线1l与椭圆C相交于不同的两点A、B，满足2PMPBPA？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分14分）若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列。已知数列}{na是调和数列，对于各项都是正数的数列}{nx，满足)(*2121NnxxxnAAnnnnnn（1）求证：数列}{nx是等比数列；（2）把数列}{nx中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表，当128,873xx时，求第m行各数的和；（3）对于（2）中的数列}{nx，证明：.211111131213221nxxxxxxnnn参考答案一、选择题：1—5DBDBB6—8CCA海量资源尽在星星文库：二、填空题：9．（1，0）110．311．212．427313．62512n14．)3(64)2(3)1(1nnnn三、解答题：15．解：（1）因为55sin,43AC所以552sin1cos2AA由已知得AB4.所以AAABsin4coscos4sin)4sin(sin1010552225222……………………………………………………5分（2）由（1）知43C所以22sinC且1010sinB.由正弦定理得510sinsinCAca.又因为105ac，所以10,5ac.所以25101051021sin21BacSABC………………………………13分16．（1）解：记“3次投篮的人依次是甲、甲、乙”为事件A由题意，得923231)(AP答：3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是92………………………………5分海量资源尽在星星文库：（2）解：由题意的可能有取值为0，1，2，3，则953221322132)0(P,313231312132)1(P.272323131)2(P,271313131)3(P.所以的分布列为0123P9531272271的数学期望271627132722311950E.………………………13分17．解法一：证明：（1）设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD，因为O为AB1的中点，D为AB的中点，所以OD//BB1，且121BBOD又E是CC1中点，则EC//BB1且121BBEC，所以EC//OD且EC=OD.所以四边形ECDO为平行四边形，所以EO//CD.又CD平面A1BE，EO平面A1BE，则CD//平面A1BE……………………5分（2）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以BCBBABBB11,，所以BB1平面ABC因为CD平面ABC，所以BB1CD海量资源尽在星星文库：=BC=AC，K]所以CDAB所以CD平面A1ABB1。由（1）可知EO//CD，所以EO平面A1ABB1，所以EOAB1因为侧面是正方形，所以AB1A1B又EOOBAEO,1平面A1EB，BA1平面A1EB所以AB1平面A1BE.……………………………………………………10分（3）解：取A1C1中点F，连接B1F，EF在三棱柱ABC—A1B1C1中，因为1BB平面ABC所以侧面11AACC底面A1B1C1因为底面A1B1C1是正三角形，且F是A1C1中点，所以B1F⊥A1C1，所以B1F⊥侧面ACC1A1。所以EF是B1E在平面ACC1A1上的射影，所以∠FEB1是B1E与平面AA1C1C所成角11115sin.5BFBEFBE………………14分解法二：如图所示，建立空间直角坐标系。设边长为2，可求得11(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2),ACCA13131(3,1,0),(3,1,2),(0,2,1),(,,0),(,,1)2222BBEDO.（1）易知，33(,,0),22CD33(,,0),,//.22FOCDEOEOCD所以所以又11,CDABEEOABE平面平面，则CD//平面A1BE…………5分（II）易得，111(3,1,2),(3,1,2),(0,2,1)ABABAE海量资源尽在星星文库：所以所以又因为11111,,ABAEAABAE平面A1BE。所以AB1⊥平面A1BE………………10分（III）设侧面AA1C1C的法向量为(,,).nxyz111(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2).(0,2,0),(0,2,2),(3,1,1).ACCAACACBE因为所以由100,0,,0.0.0nACyyyzznAC得解得不妨令111(1,0,0),nBEAACC设直线与平面所成角为.所以.51553|||||||,cos|sin111EBnEBnEBn所以直线B1E与平面AA1C1C所成角的正弦值为5.5…………14分18．（I）解：22()2(1).fxmxaxb……3分（II）因为函数()fx是R上的增函数，所以()0fx在R上恒成立，则有222244(1)0,1.abab即设cos,(,01).sinarrbr为参数则)4sin(2)sin(cosrrbaz当,1)4sin(且r=1时，baz取得最小值2.（可用圆面的几何意义解得baz的最小值2）…………………………8分（Ⅲ）①当0m时12)(2xmxmf是开口向上的抛物线，显然)(xf在（2，海量资源尽在星星文库：∞）上存在子区间使得0)(xf，所以m的取值范围是（0，+∞）.②当m=0时，显然成立.③当0m时，12)(2xmxmf是开口向下的抛物线，要使)(xf在（2，+∞）上存在子区间使0)(xf，应满足,0)1(,210mfmm或.0)2(,21,0fmm解得,021m或2143m，所以m的取值范围是).