2010年北京朝阳区高三一模试题数学理B

海量资源尽在星星文库：—2010学年度高三年级第二学期统一考试（一）数学试题（理工类）2010．4（考试时间120分钟满分150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上．考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（朝阳·理·题1）1．复数112ii等于（）A．12iB．12iC．12D．12【解析】D；计算容易有1i11i22．（朝阳·理·题2）2．下图是2010年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0—9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为12,aa，则一定有（）A．12aaB．21aaC．12aaD．12,aa的大小与m的值有关0795455184464793m甲乙【解析】B；容易知道，甲选手的有效得分为84，85，85，85，81．于是181853841845a；海量资源尽在星星文库：，84，84，86，87．于是28438687855a．（朝阳·理·题3）3．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线π3x对称的是（）A．πsin26yxB．πsin23yxC．πsin23yxD．πsin26yx【解析】D；A，C中函数不关于直线π3x对称；B中函数的最小正周期为4π；D是正确的．（朝阳·理·题4）4．一个简单几何体的正视图，侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④侧视图正视图2232【解析】B；易知其俯视图可能为边长为3，2的矩形；亦可能为半长轴为3，半短轴为2的椭圆．（朝阳·理·题5）5．在区间[π,π]内随机取两个数分别记为,ab，则使得函数222()2πfxxaxb有零点的概率为（）A．78B．34C．12D．14【解析】B；若使函数有零点，必须22224π0ab≥，即222πab≥．在坐标轴上将,ab的取值范围标出，有如图所示海量资源尽在星星文库：22-2-2-aOb当,ab满足函数有零点时，坐标位于正方形内圆外的部分．于是概率为22π314π4．（朝阳·理·题6）6．已知点(3,4)P是双曲线22221(0,0)xyabab渐近线上的一点，,EF是左、右两个焦点，若0EPFP，则双曲线方程为（）A．22134xyB．22143xyC．221916xyD．221169xy【解析】C；不妨设,0,,0EcFc，于是有23,43,49160EPFPccc．于是225c．排除A，B．又由D中双曲线的渐近线方程为34yx，点P不在其上．排除D．（朝阳·理·题7）7．设min{,}pq表示,pq两者中较小的一个，若函数221()min{3log,log}2fxxx，则满足()1fx的x的取值范围是（）A．0,2B．0,C．(0,2)(16,)D．1,16【解析】C；不妨设2x，有221(2)min{3log2,log2}12f．不满足1fx．排除B，D．令52x，有5552211(2)min{3log2,log2}122f．满足1fx．于是排除A．画出fx的图像亦可直接求解．（朝阳·理·题8）8．一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为2，二面角DACB的余弦值为13，则下列论断正确的是（）A．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3π．B．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4πC．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为33πD．不存在这样的球使得空间四边形ABCD的四个顶点在此球面上．海量资源尽在星星文库：【解析】A；易知四面体ABCD为边长为2的正四面体．容易计算有其外接球的半径为32．于是外接球的表面积为234π3π2．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（朝阳·理·题9）9．已知圆的极坐标方程为2cos，则圆心的直角坐标是；半径长为．【解析】1,0,1；由22cos，有222xyx，即圆的直角坐标方程为2211xy．于是圆心坐标为1,0，半径为1．（朝阳·理·题10）10．圆224xy被直线3230xy截得的劣弧所对的圆心角的大为．【解析】π3．圆心到直线的距离为23331d．不妨设劣弧所对的圆心角为，于是3cos22．解得π3．（朝阳·理·题11）11．已知向量(3sin,1),(1,cos)ab，则ab的最大值为．【解析】2；π3sincos2sin6ab．当π3时ab有最大值2．（朝阳·理·题12）12．如图，圆O是ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，27,3CDABBC，则BD的长为；AC的长为．ODCBA海量资源尽在星星文库：【解析】374,2．24CDDBDADBABBDBD．又由DCBCAB知BCDACD．于是BCBDCDACCDAD．即3437227BDACACCD．（朝阳·理·题13）13．右边程序框图的程序执行后输出的结果是．n=n+2S=0n=1S=S+nn50否是输出S结束开始【解析】625；将经过i次运行后的,nS值列表如下．i12345．．．m．．．25n35791121m51S14916252m625于是625S．（朝阳·理·题14）14．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是x，另一个是3x，设第*()nnN次生成的数的个数为na，则数列{}na的前n项和nS；海量资源尽在星星文库：，前．n次生成所有数．．．．．．中不同的数的个数为,nT则nT．【解析】1,121,3,246,3.nnnnn≥；容易知道，第n次生成的数的个数为2nna，于是1122112nnnS．计算得知121,3TT．不妨设第n次生成的数的最大值为,nA最小值为nB．当3n≥时，易知113,3nnnnnAABAB．于是每进行一次生成，所有数的取值区间增大6．又由生成数中不存在除3余0的数，于是不同的数个数为4．观察知当3n≥时，nT为公差为4的等差数列．于是有46nTn．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（朝阳·理·题15）15．在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且3π5,sin45CA．⑴求sinB的值；⑵若510ca，求ABC的面积．【解析】⑴因为35π,sin45CA所以225cos1sin5AA由已知得π4BA．所以πππsinsin()sincoscossin444BAAA2252510222510……………………………………………………5分⑵由⑴知3π4C．所以2sin2C且10sin10B．由正弦定理得sin10sin5aAcC．又因为510ca，所以5,10ca．所以11105sin10522102ABCSacB………………………………13分（朝阳·理·题16）16．在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是11,32．两人投篮3次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影海量资源尽在星星文库：响．⑴求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；⑵若投篮命中一次得1分，否则得0分，用表示甲的总得分，求的分布列和数学期望．【解析】⑴记“3次投篮的人依次是甲、甲、乙”为事件A．由题意，得122()339PA答：3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是29………………………………5分⑵由题意的可能有取值为0，1，2，3，则212125(0)323239P，211121(1)323333P．1122(2)33327P，1111(3)33327P．所以的分布列为0123P5913227127的数学期望512116012393272727E．………………………13分（朝阳·理·题17）17．如图，在三棱柱111ABCABC中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱1CC的中点．⑴求证：CD平面1AEB；⑵求证：1AB平面1AEB；⑶求直线1BE与平面11AACC所成角的正弦值．EC1B1A1DCBA【解析】⑴设1AB和1AB的交点为O，连接EO，连接OD，海量资源尽在星星文库：的中点，D为AB的中点，所以1ODBB∥，且112ODBB又E是1CC中点，则1ECBB∥且112ECBB，所以ECOD∥且ECOD．所以四边形ECDO为平行四边形，所以EOCD∥．又CD平面1ABE，EO平面1ABE，则CD∥平面1ABE……………………5分⑵因为三棱柱各侧面都是正方形，所以11,BBABBBBC，所以1BB平面ABC．因为CD平面ABC，所以1BBCD．由已知得ABBCAC，所以CDAB．所以CD平面11AABB由⑴可知EOCD∥，所以EO平面11AABB．所以1EOAB．因为侧面是正方形，所以11ABAB．又1,EOABOEO平面1AEB，1AB平面1AEB．所以1AB平面1ABE．……………………………………………………10分⑶取11AC中点F，连接1,BFEF．海量资源尽在星星文库：中，因为1BB平面ABC所以侧面11ACCA底面111ABC．因为底面111ABC是正三角形，且F是11AC中点，所以111BFAC，所以1BF侧面11ACCA．所以EF是1BE在平面11ACCA上的射影，所以1FEB是1BE与平面11AACC所成角．11115sin5BFBEFBE．………………14分解法二：如图所示，建立空间直角坐标系．zyxOEC1B1A1DCBA设边长为2，可求得11(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2)ACCA，13131(3,1,0),(3,1,2),(0,2,1),,,0,,,12222BBEDO．⑴易知，33,,022CD，33(,,0)22FO，所以CDEO，所以EOCD∥．又11,CDABEEOABE平面平面，则CD∥平面1ABE…………5分⑵易得，111(3,1,2),(3,1,2),(0,2,1)ABABAE所以11110,0ABABABAE．海量资源尽在星星文库：