2010年广东兴宁沐彬中学高三期末试题数学

C1B1A1CBA2010年沐彬中学高三期末试题数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．作答选做题时．请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的．答案无效。5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合2{(,)|1}Mxyyx，{(,)|1,}NxyxyR，则MN等于（）A．{1,0}B．{|01}yyC．{(1,0)}D．2．已知数列{}na是等比数列，且118a，41a，则{}na的公比q为（）A.2B.－12C.－2D.123．函数212log2)(xxxf的零点所在的大致区间为()A．)2,1(B．)4,2(C．)8,4(D．不能确定4．函数f(x)是以π为周期的奇函数，且f(4)=-1，那么f(49)等于()A．1B.-1C.4D.45．如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为1的正三角形，1111AAABC面，正视图是长为2，宽为1的矩形,则该三棱柱的侧视图（或左视图）的面积为（）A．32B．3C．1D．326．函数2()2cos3sin2fxxx（x∈R）的最小正周期和最大值分别为()A．2π1B．2π3C．π1D．π37．一物体A以速度232vt（t的单位：s，v的单位：m/s），在一直线上运动，在此直线上在物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方8m处以8vt（t的单位：s，v的单位：m/s）的速度与A同向运动，设ns后两物体相遇，则n的值为()A．4103B．210C．4D．58．定义在R上的函数()yfx，满足(3)()fxfx，3()'()02xfx，若x1x2，且x1+x23，则有()A．12()()fxfxB．12()()fxfxC．12()()fxfxD．不确定二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．函数()1lg(2)fxxx的定义域为．10．如右图所示的算法流程图中，输出S的值为．11.在ABC中，||3.||4,||5,BCABAC则ACBC．12．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的分配方案有种(用数字表示)13．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：22＝1＋332＝1＋3＋542＝1＋3＋5＋723＝3＋533＝7＋9＋1143＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，若n2=1＋3＋5＋…＋19，m3（m∈N*）的分解中最小的数是21，则m＋n的值为________．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知⊙O的方程为122yx，则⊙O上的点到直线tytx531542（t为参数）的距离的最大值为．15．（几何证明选讲选做题）如图已知G是△ABC的重心，AG交BC于E，BG交AC于F，△EFG的面积为2，则△EFC的面积为。开始S＝0i＝3i＝i＋1S＝S＋ii＞10输出S结束是否三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16.（本小题满分12分）设函数f(x)=2)0(sinsincos2cossin2xxx在x处取最小值.（Ⅰ）求的值;（Ⅱ）在ABC中,cba,,分别是角A,B,C的对边,已知,2,1ba23)(Af,求角C..17.（本小题满分12分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（Ⅰ）至少有1株成活的概率；（Ⅱ）两种大树各成活1株的概率．18．（本小题满分14分）如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点.（Ⅰ）求证：AB1//面BDC1；（Ⅱ）求二面角C1—BD—C的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论.19．（本小题满分14分）已知函数f（x）=3231()2axxxR，其中a0.（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间11,22上，f（x）0恒成立，求a的取值范围.20.(本小题满分14分)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1（Ⅰ）求椭圆C的方程.（Ⅱ）若P为椭圆C的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，OPeOM（e为椭圆C的离心率），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.21.（本小题满分14分）已知函数**(),,yfxxyNN，满足：①对任意,,,21*21xxNxx都有)()()()(12212211xfxxfxxfxxfx；②对任意*nN都有[()]3ffnn.（Ⅰ）试证明：)(xf为*N上的单调增函数；（Ⅱ）求)28()6()1(fff；（Ⅲ）令*(3),nnafnN，试证明：121111424nnnaaa≤2010年沐彬中学高三期末试题数学(理科)答案CCAABDCB7．依题意得200(32)88nntdttdt，32284nnn2(4)(2)0nn4n,选C.9.[1,2)10.5211.912.24013.1514.315.616．解:（1）1cos()2sincossinsin2fxxxxsinsincoscossinsinxxxxsincoscossinxxsin()x因为函数f(x)在x处取最小值，所以sin()1,由诱导公式知sin1,因为0,所以2.所以()sin()cos2fxxx（2）因为23)(Af,所以3cos2A,因为角A为ABC的内角,所以6A.又因为,2,1ba所以由正弦定理,得sinsinabAB,也就是sin12sin222bABa,因为ba,所以4B或43B.当4B时,76412C;当43B时,36412C.17．解设kA表示第k株甲种大树成活,1,2k;设lB表示第l株乙种大树成活,1,2l则1212,,,AABB独立,且121254()(),()()65PAPAPBPB（Ⅰ）至少有1株成活的概率为:2212121212118991()1()()()()1()()65900PAABBPAPAPBPB（Ⅱ）由独立重复试验中事件发生的概率公式知,两种大树各成活1株的概率为:1122514110846655362545PCC12分18.（I）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点.又D是AC的中点，∴OD//AB1.………………………………………………2分∵AB1面BDC1，OD面BDC1，∴AB1//面BDC1.…………………………………………4分（II）解：如力，建立空间直角坐标系，则C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0）……………………5分设n=（x1，y1，z1）是面BDC1的一个法向量，则,0011DCnBCn即)21,31,1(,030231111nyxzy取.…………6分易知CC1=(0，3，0)是面ABC的一个法向量.723671||||,cos111CCnCCnCCn.…………………………8分∴二面角C1—BD—C的余弦值为72.………………………………9分（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1.则.373,0)3(320)3(3,0011yyyyDCCPBCCP即∴方程组无解.∴假设不成立.∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1.……………14分19．解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=323xx12，f（2）=3；f’(x)=233xx,f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（Ⅱ）f’(x)=2333(1)axxxax.令f’(x)=0，解得x=0或x=1a.以下分两种情况讨论：(1)若110a2a2，则，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：X102，0120，f’(x)+0-f(x)增函数极大值减函数当11xfx22，时，（）0等价于5a10,()0,8215a()0,0.28ff即解不等式组得-5a5.因此0a2.(2)若a2，则110a2.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：X102，01a0，1a11a2，f’(x)+0-0+f(x)增函数极大值减函数极小值增函数当11x22，时，f（x）0等价于1f(-)21f()0,a0,即25811-0.2aa0,解不等式组得252a或22a.因此2a5.综合（1）和（2），可知a的取值范围为0a5.（20）解：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得{1,7.acac解得a=4,c=3,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m所以椭圆C的方程为221.167xy（Ⅱ）设M（x,y）,P(x,1y),其中4,4.x由已知得222122.xyexy而34e，故2222116()9().xyxy①由点P在椭圆C上得2211127,16xy代入①式并化简得29112,y所以点M的轨迹方程为47(44),3yx轨迹是两条平行于x轴的线段.21.解：（Ⅰ）由①知，对任意*,,ababN，都有0))()()((bfafba，由于0ba，从而)()(bfaf，所以函数)(xf为*N上的单调增函数.3分（Ⅱ）令af)1(，则1a…，显然1a，否则1)1())1((fff，与3))1((ff矛盾.从而1a，而由3))1((ff,即得3)(af.又由（I）知afaf)1()(，即3a.于是得31a，又*aN，从而2a，即2)1(f.5分进而由3)(af知，3)2(f.于是623))2(()3(fff,6分933))3(()6(fff,1863))6(()9(fff,2793))9(()18(fff,54183))18(()27(fff,81273))27(()54(fff,由于5427815427,而且由（I）知，函数)(xf为单调增函数，因此55154)28(f.从而(1)(6)(28)295566