2012届高三数学一轮复习平面解析几何练习题2

第8章第2节一、选择题1．(文)(2010·山东潍坊)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－3)2＋y－732＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D.x－322＋(y－1)2＝1[答案]B[解析]依题意设圆心C(a,1)(a0)，由圆C与直线4x－3y＝0相切得，|4a－3|5＝1，解得a＝2，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选B.(理)(2010·厦门三中阶段训练)以双曲线x26－y23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是()A．x2＋y2－23x＋2＝0B．(x－3)2＋y2＝9C．x2＋y2＋23x＋2＝0D．(x－3)2＋y2＝3[答案]D[解析]双曲线右焦点F(3,0)，渐近线方程y＝±22x，故圆半径r＝3，故圆方程为(x－3)2＋y2＝3.2．已知两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是()A．2，12(4－5)B.12(4＋5)，12(4－5)C.5，4－5D.12(5＋2)，12(5－2)[答案]B[解析]如图圆心(1,0)到直线AB：2x－y＋2＝0的距离为d＝45，故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是45＋1，最小值是45－1.又|AB|＝5，故△PAB面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－52.3．(文)(2010·延边州质检)已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1上一点P到直线3x－4y－3＝0距离为d，则d的最小值为()A．1B.45C.25D．2[答案]A[解析]∵圆心C(－1,1)到直线3x－4y－3＝0距离为2，∴dmin＝2－1＝1.(理)(2010·安徽合肥六中)已知圆C的方程为x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为()A.13B.15C．－13D．－15[答案]D[解析]圆C的方程可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C的坐标为(－1,1)，又直线kx＋y＋4＝0恒过点A(0，－4)，所以当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，直线CA应垂直于直线kx＋y＋4＝0，直线CA的斜率为－5，所以－k＝15，k＝－15.4．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示的圆的充要条件是()A.14m1B．m1C．m14D．m14或m1[答案]D[解析]∵方程表示圆∴16m2＋4－20m0，∴m14或m1.5．已知f(x)＝(x－1)(x＋2)的圆象与x轴、y轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点．则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是()A．(0,1)B．(0，－1)C．(0，2)D．(0，22)[答案]A[解析]f(x)的图象与x轴交于点A(1,0)，B(－2,0)，与y轴交于点C(0，－2)，设过A、B、C三点的圆与y轴另一个交点为D(0，a)，易知a＝1.6．(2010·北京海淀区)已知动圆C经过点F(0,1)，并且与直线y＝－1相切，若直线3x－4y＋20＝0与圆C有公共点，则圆C的面积()A．有最大值πB．有最小值πC．有最大值4πD．有最小值4π[答案]D[解析]由于圆经过点F(0,1)且与直线y＝－1相切，所以圆心C到点F与到直线y＝－1的距离相等，由抛物线的定义知点C的轨迹方程为x2＝4y，设C点坐标为x0，x024，∵⊙C过点F，∴半径r＝|CF|＝－＋x024－12＝x024＋1，直线3x－4y＋20＝0与圆C有公共点，即转化为点x0，x024到直线3x－4y＋20＝0的距离d＝|3x0－4×x024＋20|5≤x024＋1，解得x0≥103或x0≤－2，从而得圆C的半径r＝x024＋1≥2，故圆的面积有最小值4π.7．(文)已知a≠b，且a2sinθ＋acosθ－π4＝0，b2sinθ＋bcosθ－π4＝0，则连结(a，a2)，(b，b2)两点的直线与单位圆的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不能确定[答案]A[解析]∵A(a，a2)，B(b，b2)都在直线xcosθ＋ysinθ－π4＝0上，原点到该直线距离d＝－π4sin2θ＋cos2θ＝π41，故直线AB与单位圆相交．(理)(2010·温州中学)设圆过双曲线x29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离为()A．4B.163C.473D．5[答案]B[解析]由题意知圆心在双曲线顶点和焦点连线的垂直平分线上，顶点A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点F1(－5,0)，F2(5,0)，A1F1的垂直平分线x＝－4，代入双曲线方程中得，y＝±473，∴圆心－4，473到双曲线中心距离为d＝－4－＋473－02＝163，A1F2的中垂线x＝1与双曲线无交点，故选B.8．(2010·吉林省质检)圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是()A．(－∞，4)B．(－∞，0)C．(－4，＋∞)D．(4，＋∞)[答案]A[解析]∵方程x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0表示圆，∴4＋36－20a0，∴a2，又圆关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，∴圆心(1，－3)在直线上，∴－3＝1＋2b，∴b＝－2，∴a－b4.9．(文)已知不等式组x≥0y≥0x＋2y－4≤0表示的平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝5B．(x－2)2＋(y－1)2＝8C．(x－4)2＋(y－1)2＝6D．(x－2)2＋(y－1)2＝5[答案]D[解析]由题意知此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)为顶点的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2,1)，半径是5，所以圆C的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5.(理)(2010·北京东城区)已知不等式组x＋y≤1x－y≥－1y≥0表示的平面区域为M，若直线y＝kx－3k与平面区域M有公共点，则k的取值范围是()A.－13，0B.－∞，13C.0，13D.－∞，－13[答案]A[解析]画出可行域如图，直线y＝kx－3k过定点(3,0)，由数形结合知该直线的斜率的最大值为k＝0，最小值为k＝0－13－0＝－13.10．已知点P(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，当2x＋4y取最小值时，过点P(x，y)引圆C：x－122＋y＋142＝12的切线，则此切线长等于()A.12B.32C.62D.32[答案]C[解析]由于点P(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，得x，y满足x＋2y＝3，又2x＋4y＝2x＋22y≥22x＋2y＝42，取得最小值时x＝2y，此时点P的坐标为32，34.由于点P到圆心C12，－14的距离为d＝32－122＋34＋142＝2，而圆C的半径为r＝22，那么切线长为d2－r2＝2－12＝62，故选C.二、填空题11．(文)(2010·金华十校)圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于A、B，|AB|＝3，则该圆的标准方程是________．[答案](x－1)2＋y－122＝1[解析]设圆心C(a，b)，由条件知a＝1，取弦AB中点D，则CD＝AC2－AD2＝12－322＝12，即b＝12，∴圆方程为(x－1)2＋y－122＝1.(理)已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2＝2x上，其中O为坐标原点，则△OAB的外接圆的方程是________________．[答案](x－4)2＋y2＝16[解析]由抛物线的性质知，A，B两点关于x轴对称，所以△OAB外接圆的圆心C在x轴上．设圆心坐标为(r,0)，并设A点在第一象限，则A点坐标为32r，32r，于是有32r2＝2×32r，解得r＝4，所以圆C的方程为(x－4)2＋y2＝16.12．(2010·南京师大附中)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数f′(x)0恒成立，且f(4)＝1，若f(x2＋y2)≤1，则x2＋y2＋2x＋2y的最小值是________．[答案]6－42[解析]依题意得，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∵f(x2＋y2)≤1，f(4)＝1，∴f(x2＋y2)≤f(4)，∴x2＋y2≥4，又因为x2＋y2＋2x＋2y＝(x＋1)2＋(y＋1)2－2，(x＋1)2＋(y＋1)2可以看作是点(x，y)到点(－1，－1)的距离的平方．由圆的知识可知，最小值为(r－|OC|)2＝(2－2)2＝6－42.13．(文)(2010·浙江杭州市质检)已知A、B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．[答案](x－1)2＋(y＋1)2＝9[解析]∵M是以AB为直径的圆的圆心，|AB|＝6，∴半径为3，又⊙M经过点C，∴|CM|＝12|AB|＝3，∴点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9.(理)(2010·胶州三中)以椭圆x241＋y216＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x29－y216＝1的渐近线相切的圆的方程为________．[答案](x－5)2＋y2＝16[解析]由c2＝41－16＝25得c＝5，∴椭圆右焦点F2(5,0)，又双曲线渐近线方程为y＝±43x，∴圆半径r＝|4×5＋0|42＋32＝4，∴圆方程为(x－5)2＋y2＝16.14．(文)(2010·天津文，14)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为__________．[答案](x＋1)2＋y2＝2[解析]在直线方程x－y＋1＝0中，令y＝0得，x＝－1，∴圆心坐标为(－1,0)，由点到直线的距离公式得圆的半径R＝|－1＋0＋3|2＝2，∴圆的标准方程为(x＋1)＋y2＝2.(理)(2010·瑞安中学)已知圆x2＋y2＝r2在曲线|x|＋|y|＝4的内部(含边界)，则半径r的范围是______．[答案](0,22][解析]如图，曲线C：|x|＋|y|＝4为正方形ABCD，∵圆x2＋y2＝r2在曲线C的内部(含边界)∴0r≤|OM|＝22.三、解答题15．(2010·广东华南师大附中)已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)，求：(1)过点A的圆的切线方程；(2)O点是坐标原点，连结OA，OC，求△AOC的面积S.[解析](1)⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.当切线的斜率不存在时，过点A的直线方程为x＝3，C(2,3)到直线的距离为1，满足条件．当k存在时，设直线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0，由直线与圆相切得，|－k＋2|k2＋1＝1，∴k＝34.∴过点A的圆的切线方程为x＝3或y＝34x＋114.(2)|AO|＝9＋25＝34，过点A的圆的切线OA：5x－3y＝0，点C到直线OA的距离d＝134，S＝12·d·|AO|＝12.16．(文)(2010·烟台诊断)已知圆C的圆心为C(m,0)，m3，半径为5，圆C与椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)有一个公共点A(3,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点．(1)求圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(4,4)，试探究斜率为k的直线PF1与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线PF1的方程；若不能，请说明理由．[解析](1)由已知可设圆C的方程为(x－m)2＋y2＝5(m3)将点A的坐标代入圆C的方程得，(3－m)2＋1＝5即(3－m)2＝4，解得m＝1，或m＝5∵m3，∴m＝1∴圆C的方程为(x－1)2＋y2＝5.(2)直线PF