2012届高三数学一轮复习平面解析几何练习题7

第8章第7节一、选择题1．(2010·聊城模考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为()A．5x2－45y2＝1B.x25－y24＝1C.y25－x24＝1D．5x2－54y2＝1[答案]D[解析]抛物线y2＝4x焦点为(1,0)，∴双曲线中c＝1，又e＝ca＝5，∴a＝55，∴b2＝c2－a2＝1－15＝45，∴双曲线方程为x215－y245＝1.2．(2010·山东郓城)已知对k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆x25＋y2m＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是()A．(0,1)B．(0,5)C．[1,5)∪(5，＋∞)D．[1,5)[答案]C[解析]直线y＝kx＋1过定点(0,1)，只要(0,1)在椭圆x25＋y2m＝1上或共内部即可，从而m≥1.又因为椭圆x25＋y2m＝1中m≠5，∴m∈[1,5)∪(5，＋∞)．[点评]含参数的直线与曲线位置关系的命题方式常常是直线过定点，考虑定点与曲线位置，以确定直线与曲线的位置．3．图中的椭圆C1、C2与双曲线C3、C4的离心率分别为e1、e2、e3、e4，则它们的大小关系是()A．e1e2e3e4B．e2e1e3e4C．e1e2e4e3D．e2e1e4e3[答案]B[解析]∵C1、C2为椭圆，∴e∈(0,1)∵C3、C4为双曲线，∴e∈(1，＋∞)比较C1、C2∵a相等而C1比C2的短轴小，∴C1的焦距比C2的焦距大，从而e1e2同理C4的虚轴长C3的虚轴长，而实轴长相同∴C4的焦距C3的焦距∴e4e3综上可得：e2e1e3e4，选B.[点评]对于椭圆e＝ca＝1－ba2，e越大越扁，对于双曲线e＝ca＝1＋ba2，e越大开口越宽阔．4．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为()A．32B．26C．27D．42[答案]C[解析]根据题意设椭圆方程为x2b2＋4＋y2b2＝1(b0)，则将x＝－3y－4代入椭圆方程得，4(b2＋1)y2＋83b2y－b4＋12b2＝0，∵椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个公共点，∴Δ＝(83b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)(b2－3)＝0，∴b2＝3，长轴长为2b2＋4＝27，故选C.5．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，过椭圆的右焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，若OA→·OB→＝0，则椭圆的离心率e等于()A.－1＋52B.－1＋32C.12D.32[答案]A[解析]如图，F2(c,0)把x＝c代入椭圆x2a2＋y2a2＝1得A(c，b2a)．由OA→·OB→＝0结合图形分析得|OF2|＝|AF2|，即c＝b2a⇒b2＝ac⇒a2－c2＝ac⇒(ca)2＋ca－1＝0⇒e2＋e－1＝0⇒e＝5－126．(2010·重庆南开中学)双曲线x2n－y2＝1(n1)的两焦点为F1，F2，点P在双曲线上，且满足：|PF1|＋|PF2|＝2n＋2，则△PF1F2的面积是()A．1B.12C．2D．4[答案]A[解析]由条件知|PF1|－|PF2|＝2n|PF1|＋|PF2|＝2n＋2，∴|PF1|＝n＋2＋n，|PF2|＝n＋2－n又∵|F1F2|＝2n＋1，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝12(n＋2＋n)(n＋2－n)＝1.7．在同一坐标系中方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(ab0)的曲线大致是()[答案]D[解析]方程a2x2＋b2y2＝1，即x21a2＋y21b2＝1，因为1a21b2，所以是焦点在y轴上的椭圆．方程ax＋by2＝0化为y2＝－abx，为焦点在x轴的负半轴的抛物线．8．(2010·长沙一中、雅礼中学联考)若椭圆mx2＋ny2＝1(m0，n0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的连线的斜率为12，则椭圆的离心率为()A.12B.22C.32D.62[答案]B[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点为x1＋x22，y1＋y22，mx12＋ny12＝1，mx22＋ny22＝1，两式相减得y1＋y2x1＋x2＝－mn×x1－x2y1－y2，∴12＝－mn×(－1)，即mn＝12，离心率e＝1m－1n1m＝1－mn＝22，故选B.9．(2010·福建福州市质检)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A．5B．8C.17－1D.5＋2[答案]C[解析]抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线距离为d，根据抛物线的定义有d＝|PF|，∴|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|，由圆的几何性质及三角形两边之和大于第三边可知，当P、Q、F、C四点共线时取最小值，故最小值为|FC|－1＝17－110．(2010·北方四校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p0)，过点Ap2，0的直线与抛物线C交于M、N两点，且MA→＝2AN→，过点M、N向直线x＝－p2作垂线，垂足分别为P、Q，△MAP、△NAQ的面积分别为记为S1与S2，那么()A．S1∶S2＝2∶1B．S1∶S2＝5∶2C．S1∶S2＝4∶1D．S1∶S2＝7∶1[答案]C[解析]依题意，点A为抛物线的焦点，直线x＝－p2为抛物线的准线，则|MP|＝|MA|，|NA|＝|NQ|，∠PMA＝π－∠QNA，故S1＝|MP||MA|sin∠PMA＝4|AN|2sin∠QNA＝4S2，故选C.二、填空题11．(2010·吉林省调研)已知过双曲线x2a2－y2b2＝1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．[答案](1，2)[解析]由条件知，渐近线的倾斜角小于45°，即ba1，∴c2－a2a21，∴c2a22，即e22，∵e1，∴1e2.12．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为________．[答案]x2－y28＝1(x1)[解析]设另两个切点为E、F，如图所示，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NF|＝|NB|.从而|PM|－|PN|＝|ME|－|NF|＝|MB|－|NB|＝4－2＝2|MN|，所以点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．∴a＝1，c＝3，∴b2＝8.故方程为x2－y28＝1(x1)．13．(2010·平顶山市调研)在下列命题中：①方程|x|＋|y|＝1表示的曲线所围成区域面积为2；②与两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y＝±x；③与两定点(－1,0)、(1,0)距离之和等于1的点的轨迹为椭圆；④与两定点(－1,0)、(1,0)距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线．正确的命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题序号都填上)[答案]①②④[解析]方程|x|＋|y|＝1与两轴交点A(－1,0)，B(0，－1)，C(1,0)，D(0,1)组成正方形的面积S＝12|AC|·|BD|＝12×2×2＝2，故①真；设与两坐标轴距离相等的点为P(x，y)，则|x|＝|y|，∴y＝±x，故②真；∵两点E(－1,0)，F(1,0)的距离|EF|＝21，∴到两点E、F距离之和等于1的点不存在，∴③错误；与两点E、F距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线正确．14．(2010·安徽安庆联考)设直线l：y＝2x＋2，若l与椭圆x2＋y24＝1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为2－1的点P的个数为________．[答案]3[解析]设与l平行且与椭圆相切的直线方程为y＝2x＋b，代入x2＋y24＝1中消去y得，8x2＋4bx＋b2－4＝0，由Δ＝16b2－32(b2－4)＝0得，b＝±22，显见y＝2x＋2与两轴交点为椭圆的两顶点A(－1,0)，B(0,2)，∵直线y＝2x＋22与l距离d＝22－25，∴欲使S△ABP＝12|AB|·h＝52h＝2－1，须使h＝22－25，∵d＝h，∴直线y＝2x＋22与椭圆切点，及y＝2x＋4－22与椭圆交点均满足，∴这样的点P有3个．三、解答题15．(2010·新课标全国)设F1、F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列．(1)求E的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．[解析](1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43a.l的方程为y＝x＋c，其中c＝a2－b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组y＝x＋c，x2a2＋y2b2＝1.消去y，整理得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，则x1＋x2＝－2a2ca2＋b2，x1x2＝－a2＋b2.因为直线AB斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|＝＋－4x1x2]，得43a＝4ab2a2＋b2，故a2＝2b2，所以E的离心率e＝ca＝a2－b2a＝22.(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0＝x1＋x22＝－a2ca2＋b2＝－23c，y0＝x0＋c＝c3.由|PA|＝|PB|得kPN＝－1.即y0＋1x0＝－1，得c＝3，从而a＝32，b＝3.故椭圆E的方程为x218＋y29＝1.16．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为32，其中A(0，－b)，B(a,0)．(1)求双曲线的标准方程；(2)设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ的中点．若点M在直线x＝－2上的射影为N，满足PN→·QN→＝0，且|PQ→|＝10，求直线l的方程．[解析](1)依题意有ca＝2，aba2＋b2＝32，a2＋b2＝c2.解得a＝1，b＝3，c＝2.所以，所求双曲线的方程为x2－y23＝1.(2)当直线l⊥x轴时，|PQ→|＝6，不合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2)．由x2－y23＝y＝－得，(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0.①因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3－k2≠0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，则x1、x2是方程①的两个正根，于是有x1＋x2＝4k2k2－30，x1x2＝4k2＋3k2－30，Δ＝－－－4k2－，所以k23.②因为PN→·QN→＝0，则PN⊥QN，又M为PQ的中点，|PQ→|＝10，所以|PM|＝|MN|＝|MQ|＝12|PQ|＝5.又|MN|＝x0＋2＝5，∴x0＝3，而x0＝x1＋x22＝2k2k2－3＝3，∴k2＝9，解得k＝±3.∵k＝±3满足②式，∴k＝±3符合题意．所以直线l的方程为y＝±3(x－2)．即3x－y－6＝0或3x＋y－6＝0.17．(2010·北京崇文区)已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．(1)求椭圆的方程；(2)当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；(3)在线段OF上是否存在点M(m,0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析](1)由已知，椭圆方程可设为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短