2013北京丰台区高三上学期期末数学理试题答案

丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案一、选择题题号12345678答案DCCABCDA二、填空题：9．20；10.[-2,2]；11.x+2y-3=0；12．2(只写一个答案给3分)；13．32；14．5,1612nm(第一个空2分，第二个空3分)三．解答题15．（本题共13分）函数2()lg(23)fxxx的定义域为集合A，函数()2(2)xgxax的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B满足ABB,求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）A=2{|230}xxx={|(3)(1)0}xxx={|1,3}xxx或，..………………………..……3分B={|2,2}{|4}xyyaxyaya．………………………..…..7分（Ⅱ）∵ABB，∴BA，..…………………………………………….9分∴41a或3a，…………………………………………………………...11分∴3a或5a，即a的取值范围是(,3](5,)．…………………….13分16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A，B两点．（Ⅰ）若点A的横坐标是35，点B的纵坐标是1213，求sin()的值；（Ⅱ）若∣AB∣=32,求OAOB的值.xyBAO解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得，3cos5，12sin13．………………………………………………………2分∵的终边在第一象限，∴4sin5．……………………………………………3分∵的终边在第二象限，∴5cos13．………………………………………4分∴sin()=sincoscossin=455()13+351213=1665．……………7分（Ⅱ）方法（1）∵∣AB∣=|AB|=|OBOA|,……………………………………9分又∵222||222OBOAOBOAOAOBOAOB，…………………11分∴9224OAOB，∴18OAOB．…………………………………………………………………13分方法（2）∵222||||||1cos2||||8OAOBABAOBOAOB，…………………10分∴OAOB=1||||cos8OAOBAOB．…………………………………13分17．(本题共14分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，3BC，90ABC°,平面PAB平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．（Ⅰ）求证：DE//平面PBC;（Ⅱ）求证：ABPE；（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大小．解：（Ⅰ）D、E分别为AB、AC中点，DE//BC．DE平面PBC，BC平面PBC，DE//平面PBC．…………………………4分（Ⅱ）连结PD，PA=PB，PDAB．…………………………….5分//DEBC，BCAB，DEAB．...........................................................................................................6分EDBCAP_E_D_B_C_A_P又PDDED，AB平面PDE．......................................................................................................8分PE平面PDE，ABPE．..........................................................................................................9分（Ⅲ）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC．................................................................................................10分如图,以D为原点建立空间直角坐标系B(1,0,0)，P(0,0,3)，E(0,32,0),PB=(1,0,3)，PE=(0,32,3）．设平面PBE的法向量1(,,)nxyz，30,330,2xzyz令3z得1(3,2,3)n．............................11分DE平面PAB，平面PAB的法向量为2(0,1,0)n．………………….......................................12分设二面角的APBE大小为，由图知，121212||1coscos,2nnnnnn，所以60,即二面角的APBE大小为60．..........................................14分18．（本题共14分）已知函数2()(0)xaxbxcfxae的导函数'()yfx的两个零点为-3和0.（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）若f(x)的极小值为3e，求()fx在区间[5,)上的最大值.解：（Ⅰ）222(2)()(2)()()xxxxaxbeaxbxceaxabxbcfxee．.......2分_E_D_B_C_A_Pzyx令2()(2)gxaxabxbc，因为0xe，所以'()yfx的零点就是2()(2)gxaxabxbc的零点，且()fx与()gx符号相同.又因为0a，所以30x时，g(x)0,即()0fx，………………………4分当3,0xx时,g(x)0,即()0fx，…………………………………………6分所以()fx的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞）．……7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x=-3是()fx的极小值点，所以有3393,0,93(2)0,abceebcaabbc解得1,5,5abc，…………………………………………………………11分所以255()xxxfxe.()fx的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3）,（0，+∞），(0)5f为函数()fx的极大值,…………………………………………………12分()fx在区间[5,)上的最大值取(5)f和(0)f中的最大者.…………….13分而555(5)5fee5，所以函数f(x)在区间[5,)上的最大值是55e．.…14分19．（本题共13分）曲线12,CC都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆.点M的坐标是（0,1）,线段MN是1C的短轴，是2C的长轴.直线:(01)lymm与1C交于A,D两点（A在D的左侧），与2C交于B,C两点（B在C的左侧）．（Ⅰ）当m=32，54AC时，求椭圆12,CC的方程；（Ⅱ）若OB∥AN，求离心率e的取值范围．解：（Ⅰ）设C1的方程为2221xya,C2的方程为2221xyb,其中1,01ab．..2分C1,C2的离心率相同，所以22211aba,所以1ab，……………………….…3分C2的方程为2221axy．当m=32时，A3(,)22a,C13(,)22a．.………………………………………….5分又54AC,所以，15224aa，解得a=2或a=12(舍)，………….…………..6分C1,C2的方程分别为2214xy，2241xy．………………………………….7分（Ⅱ）A(-21am,m),B(-211ma,m)．…………………………………………9分OB∥AN,OBANkk,221111mmamma,211ma．…………………………………….11分2221aea，2211ae，221eme．………………………………………12分01m，22101ee，212e．........................................................13分20.（本题共13分）已知曲线2:2(0)Cyxy，111222(,),(,),,(,),nnnAxyAxyAxy是曲线C上的点，且满足120nxxx，一列点(,0)(1,2,)iiBai在x轴上，且10(iiiBABB是坐标原点）是以iA为直角顶点的等腰直角三角形．（Ⅰ）求1A，1B的坐标；（Ⅱ）求数列{}ny的通项公式；（Ⅲ）令21,2iyiiibca，是否存在正整数N，当n≥N时，都有11nniiiibc，若存在，写出N的最小值并证明;若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）∆B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形，直线B0A1的方程为y=x．由220yxyxy得112xy，即点A1的坐标为（2，2），进而得1(4,0)B．…..3分（Ⅱ）根据1nnnBAB和11nnnBAB分别是以nA和1nA为直角顶点的等腰直角三角形可得11nnnnnnaxyaxy，即11nnnnxyxy．（*）…………………………..5分nA和1nA均在曲线2:2(0)Cyxy上，22112,2nnnnyxyx，2211,22nnnnyyxx，代入（*）式得22112()nnnnyyyy，*12()nnyynN，………………………………………………………..7分数列{}ny是以12y为首项，2为公差的等差数列，其通项公式为2nyn(*nN)．……………………………………………....8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，2222nnyxn，2(1)nnnaxynn，……………………………………………………9分12(1)ibii，12122iyiic．11112(12)2(23)2(1)niibnn=111111(1)22231nn=11(1)21n．….……………..…………10分231111(1)1111142(1)12222212nninnic．……………………….11分（方法一）1niib-1niic=1111111112(1)-(1)()21222212(1)nnnnnnnn．当n=1时11bc不符合题意，当n=2时22bc，符合题意，猜想对于一切大于或等于2的自然数，都有11nniiiibc．（）观察知，欲证（）式，只需证明当n≥2时，n+12n以下用数学归纳法证明如下：(1)当n=2时，左边=3，右边=4，左边右边；(2)假设n=k（k≥2）时，(k+1)2k,当n=k+1时，左边=（k+1）+12k+12k+2k=2k+1=右边,对于一切大于或等于2的正整数，都有n+12n，即1niib1niic成立．综上，满足题意的n的最小值为2.……………………………………………..13分（方法二）欲证11nniiiibc成立，只需证明当n≥2时，n+12n．012323211...1...nnnnnnnnnnnnCCCCCnCCC，并且23...0nnnnCCC，当2n时，21nn.更多试题下载：（在文字上按住ctrl即可查看试题）高考模拟题：高考各科模拟试题【下载】历年高考试