2013届人教A版文科数学课时试题及解析52抛物线A高中数学练习试题

1课时作业(五十二)A[第52讲抛物线][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．抛物线y＝－2x2的焦点坐标是()A.－12，0B．(－1,0)C.0，－14D.0，－182．抛物线y2＝8x的焦点到双曲线x212－y24＝1的渐近线的距离为()A．1B.3C.33D.363．边长为1的正三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A、B两点的抛物线方程是()A．y2＝36xB．y2＝－36xC．y2＝±36xD．y2＝±33x4．抛物线y2＝－x上的点到直线3x＋4y－8＝0的距离的最小值为________．能力提升5．已知点M(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是()A．抛物线B．椭圆C．双曲线的一支D．直线6．已知点A的坐标为(3,2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，若点P在抛物线上移动，当|PA|＋|PF|取得最小值时，则点P的坐标是()A．(1，2)B．(2,2)C．(2，－2)D．(3，6)7．已知M(a,2)是抛物线y2＝2x上的一点，直线MP、MQ分别与抛物线交于P、Q两点，且直线MP、MQ的倾斜角之和为π，则直线PQ的斜率为()A.14B.12C．－12D．－148．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA→·AF→＝－4，则点A的坐标为()A．(2，±22)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,22)9．若垂直于x轴的直线交抛物线y2＝4x于点A，B，且AB＝43，则直线AB的方程为____________．10．探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口直径60cm，灯深40cm，则光源放置位置为灯轴上距顶点________处．11．过抛物线y2＝4x焦点的直线l的倾斜角为π3，且l与抛物线相交于A、B两点，O为原点，那么△AOB的面积为________．12．(13分)如图K52－1，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．2图K52－1难点突破13．(12分)已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线x＝－p2－1(p是正常数)的距离为d1，到点Fp2，0的距离为d2，且d1－d2＝1.(1)求动点P所在曲线C的方程；(2)直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B，分别过A、B点作直线l1：x＝－p2的垂线，对应的垂足分别为M、N，求证：FM→·FN→＝0.3课时作业(五十二)A【基础热身】1．D[解析]抛物线的标准方程为x2＝－12y，p＝14，所以焦点坐标为0，－18.故选D.2．A[解析]抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)到双曲线x212－y24＝1的渐近线y＝±33x的距离d＝1.故选A.3．C[解析]设AB⊥x轴于点D，则|OD|＝1·cos30°＝32，|AD|＝1·sin30°＝12，所以A32，12.由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p0)，将点A的坐标代入，即可得2p＝36.结合图形的对称性知应选C.4.43[解析]设抛物线上动点P(－y2，y)，则该点到直线3x＋4y－8＝0的距离为d＝|－3y2＋4y－8|5＝|3y2－4y＋8|5＝3y－232＋2035≥43.【能力提升】5．A[解析]由点P在BM的垂直平分线上，故|PB|＝|PM|.又PB⊥l，因而点P到直线l的距离等于点P到点M的距离，所以点P的轨迹是抛物线．故选A.6．B[解析]过P作抛物线准线l：x＝－12的垂线，垂足为Q，则|PF|＝|PQ|，所以只需求|PA|＋|PQ|的最小值．当A、P、Q三点共线时，|PA|＋|PQ|最小，此时P点纵坐标为2，代入抛物线方程得横坐标为2，所以点P坐标为(2,2)．故选B.7．C[解析]易知a＝2，设直线MP、MQ的方程分别为y＝x－2＋2，y＝－(x－2)＋2，分别代入抛物线方程，可得点P(0,0)，Q(8，－4)，所以可求得直线PQ斜率为－12.故选C.8．B[解析]设A(x0，y0)，F(1,0)，OA→＝(x0，y0)，AF→＝(1－x0，－y0)，OA→·AF→＝x0(1－x0)－y20＝－4.因为y20＝4x0，所以x0－x20－4x0＋4＝0，即x20＋3x0－4＝0，x1＝1，x2＝－4(舍)．所以x0＝1，y0＝±2.故选B.9．x＝3[解析]由题意知，点A，B的纵坐标为23和－23，代入抛物线方程求得x＝3，所以直线AB的方程为x＝3.10．5.625cm[解析]将抛物线放到直角坐标系中，使顶点与原点重合，焦点在x轴正半轴上，则由题意可知点(40,30)在抛物线上，代入y2＝2px中，解得p＝454，而光源放在焦点位置，距离顶点12p＝458＝5.625cm处．11.433[解析]抛物线焦点为F(1,0)，直线l的的方程为y＝3(x－1)，代入抛物线方程消去x得3y2－4y－43＝0，解得yA＝－23，yB＝63，所以△AOB的面积为12|OF|·|yB－yA|＝12×83＝433.12．[解答](1)由y＝x＋b，x2＝4y得x2－4x－4b＝0.(*)因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0.解得b＝－1.(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为x2－4x＋4＝0.解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1，4故点A(2,1)．因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2.所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.【难点突破】13．[解答](1)设动点为P(x，y)，依据题意，有x＋p2＋1－x－p22＋y2＝1，化简得y2＝2px.因此，动点P所在曲线C的方程是：y2＝2px.(2)由题意可知，当过点F的直线l的斜率为0时，不合题意，故可设直线l：x＝my＋p2，如图所示．联立方程组y2＝2px，x＝my＋p2，可化为y2－2mpy－p2＝0，则点A(x1，y1)、B(x2，y2)的坐标满足y1＋y2＝2mp，y1y2＝－p2.又AM⊥l1、BN⊥l1，可得点M－p2，y1、N－p2，y2.于是，FM→＝(－p，y1)，FN→＝(－p，y2)，因此FM→·FN→＝(－p，y1)·(－p，y2)＝p2＋y1y2＝0.