2013届人教A版文科数学课时试题及解析5函数的单调性与最值高中数学练习试题

1课时作业(五)[第5讲函数的单调性与最值][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是()A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1D．y＝2－|x|2．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f1xf(1)的实数x的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)3．函数f(x)＝2xx＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是()A.43，1B．1,0C.43，23D．1，234．设x1，x2为y＝f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个条件：①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0；③fx1－fx2x1－x2＞0；④fx1－fx2x1－x2＜0.其中能推出函数y＝f(x)为增函数的条件为________(填序号)．能力提升5．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是()A.32，4B.12，4C.1，52D.32，26．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值是()A．2B.12C．4D.147．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－2)f(2)的x的取值范围是()A．(－∞，0)B．(0，2)C．(0,22)D．(2，＋∞)8．设f(x)＝x3＋x，x∈R，当0≤θ≤π2时，f(msinθ)＋f(1－m)0恒成立，则实数m的取值范围是()A．(0,1)B．(－∞，0)C.－∞，12D．(－∞，1)9．已知函数f(x)＝sinπx0≤x≤1，log2010xx1，若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是()A．(1,2010)B．(1,2011)C．(2,2011)D．[2,2011]210．已知f(x)＝3a－1x＋4ax1，logaxx≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是________．11．对a，b∈R，记max(a，b)＝a，a≥b，b，ab，函数f(x)＝max(|x＋1|，|x－2|)(x∈R)的最小值是________．12．定义某种运算，ab的运算原理如图K5－1所示．设f(x)＝(x)x－(x)．则f(2)＝________；f(x)在区间[－2,2]上的最小值为________．图K5－113．已知函数f(x)＝e－x－2x≤0，2ax－1x0(a是常数且a0)．对于下列命题：①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)0在12，＋∞上恒成立，则a的取值范围是a1；④对任意x10，x20且x1≠x2，恒有fx1＋x22fx1＋fx22.其中正确命题的序号是________．14．(10分)已知函数f(x)＝1a－1x(a0，x0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)在12，2上的值域是12，2，求a的值．15．(13分)已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足：①对于任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)．(1)求f(0)的值；(2)求f(x)的最大值；(3)若对于任意x∈[0,1]，总有4f2(x)－4(2－a)f(x)＋5－4a≥0成立，求实数a的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f(x)自变量取值区间为A，若其值域区间也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．(1)求函数f(x)＝x2形如[n，＋∞)(n∈R)的保值区间；(2)g(x)＝x－ln(x＋m)的保值区间是[2，＋∞)，求m的取值．3课时作业(五)【基础热身】1．B[解析]A选项中，函数y＝x3是奇函数；B选项中，y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数；C选项中，y＝－x2＋1是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数；D选项中，y＝2－|x|＝12|x|是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数．故选B.2．C[解析]由f(x)为R上的减函数且f1xf(1)，得：1x1，x≠0，即|x|1，x≠0，∴0x1或－1x0.3．A[解析]∵f(x)＝2xx＋1＝2x＋1－2x＋1＝2－2x＋1，∴f(x)在[1,2]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1，f(x)max＝f(2)＝43，故选A.4．①③[解析]依据增函数的定义可知，对于①③，当自变量增大时，相对应的函数值也增大，所以①③可推出函数y＝f(x)为增函数．【能力提升】5．A[解析]函数f(x)的定义域是(－1,4)，u(x)＝－x2＋3x＋4＝－x－322＋254在(－1,4)上的减区间为32，4.∵e1，∴函数f(x)的单调递减区间为32，4.6．B[解析]因为ax与loga(x＋1)的单调性相同，所以不论a1，还是0a1，f(x)的最大值与最小值之和都是1＋a＋loga2，所以1＋a＋loga2＝a，解得a＝12.7．B[解析]偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，由对称性知其在(－∞，0)上单调递减，因此应有|2x－2|2，解得x∈(0，2)．8．D[解析]根据函数f(x)的性质，不等式f(msinθ)＋f(1－m)0，即f(msinθ)f(m－1)，即msinθm－1在0，π2上恒成立．当m0时，即sinθm－1m恒成立，只要0m－1m即可，解得0m1；当m＝0时，不等式恒成立；当m0时，sinθm－1m，只要1m－1m，这个不等式恒成立，此时m0.综上可知：m1.9．C[解析]因为函数f(x)＝sinπx(0≤x≤1)的图象关于直线x＝12对称，不妨令abc，由f(a)＝f(b)可得a＋b2＝12，即a＋b＝1，又因为0≤sinπx≤1，所以0log2010c1，解得1c2010，所以2a＋b＋c2011，故选C.10.17≤a＜13[解析]∵当x≥1时，y＝logax单调递减，∴0＜a＜1；而当x＜1时，f(x)＝(3a－1)x＋4a单调递减，∴a＜13；又函数在其定义域内单调递减，故当x＝1时，(3a－1)x＋4a≥logax，得a≥17，综上可知，17≤a＜13.11.32[解析]由题意可得f(x)＝x＋1，x≥12，－x＋2，x12，当x∈－∞，12时，f(x)∈432，＋∞；当x∈12，＋∞时，f(x)∈32，＋∞，所以f(x)的最小值为32.12．－2－6[解析]①x≥2时，f(x)＝－2⇒f(2)＝－2；②f(x)＝－2，x≥2，－x，0x2，－x2＋x，x≤0，f(x)在[－2,0]上最小值为－6，在[0,2]上最小值为－2，综上所述，f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－6.13．①③④[解析]如图，①正确；函数f(x)在R上不是单调函数，②错误；若f(x)0在12，＋∞上恒成立，则2a×12－10，a1，③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意x10，x20且x1≠x2，恒有fx1＋x22fx1＋fx22成立，④正确．14．[解答](1)证明：方法一：设x2x10，则x2－x10，x1x20.∵f(x2)－f(x1)＝1a－1x2－1a－1x1＝1x1－1x2＝x2－x1x1x20，∴f(x2)f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．方法二：∵f(x)＝1a－1x，∴f′(x)＝1a－1x′＝1x20，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．(2)∵f(x)在12，2上的值域是12，2，又f(x)在12，2上单调递增，∴f12＝12，f(2)＝2，∴a＝25.15．[解答](1)对于③，令x1＝x2＝0，得f(0)≤0，又由①知f(0)≥0，∴f(0)＝0.(2)设0≤x1x2≤1，则x2－x1∈(0,1]，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)≥f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)≥0，即f(x2)≥f(x1)．故f(x)在[0,1]上是单调递增的，从而f(x)的最大值是f(1)＝1.(3)∵f(x)在[0,1]上是增函数，结合(1)(2)知f(x)∈[0,1]．又∵4f2(x)－4(2－a)f(x)＋5－4a≥0，∴4f2(x)－8f(x)＋5≥4a[1－f(x)]．5当f(x)≠1时，a≤4f2x－8fx＋54[1－fx].∵y＝4f2x－8fx＋54[1－fx]＝4[1－fx]2＋14[1－fx]＝1－f(x)＋14[1－fx]≥1，∴a≤1.当f(x)＝1时，4f2(x)－4(2－a)f(x)＋5－4a＝4－4(2－a)＋5－4a＝4－8＋4a＋5－4a＝1≥0恒成立，∴a≤1.【难点突破】16．[解答](1)若n0，由题意则n＝f(0)＝0，矛盾．若n≥0，则n＝f(n)＝n2，解得n＝0或1，所以f(x)的保值区间为[0，＋∞)或[1，＋∞)．(2)因为g(x)＝x－ln(x＋m)的保值区间是[2，＋∞)，所以2＋m0，即m－2，令g′(x)＝1－1x＋m0，得x1－m，所以g(x)在(1－m，＋∞)上为增函数，同理可得g(x)在(－m,1－m)上为减函数．若2≤1－m，即m≤－1，则g(1－m)＝2，得m＝－1，满足题意．若21－m，即m－1，则g(2)＝2，得m＝－1，矛盾．所以满足条件的m值为－1.