2013届人教A版理科数学课时试题及解析49双曲线高中数学练习试题

1课时作业(四十九)[第49讲双曲线][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．与椭圆x24＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.x24－y2＝1B.x22－y2＝1C.x23－y23＝1D．x2－y22＝12．如图K49－1，已知点P为双曲线x216－y29＝1右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，则λ的值为()图K49－1A.58B.45C.43D.343．设双曲线的—个焦点为F，虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.2B.3C.3＋12D.5＋124．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的渐近线方程为()A．x±3y＝0B.3x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0能力提升5．若点O和点F(－2,0)分别是双曲线x2a2－y2＝1(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP→·FP→的取值范围为()A．[3－23，＋∞)B．[3＋23，＋∞)C.－74，＋∞D.74，＋∞6．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为()A.x236－y2108＝1B.x29－y227＝1C.x2108－y236＝1D.x227－y29＝17．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程式为()2A.x23－y26＝1B.x24－y25＝1C.x26－y23＝1D.x25－y24＝18．已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点F为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点F，则该双曲线的离心率为()A.2B．1＋2C.3D．1＋39．点P在双曲线上x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是()A．2B．3C．4D．510．已知双曲线x2a2－y2b2＝1左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF1F2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．11．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线交双曲线的左支于A，B两点，且|AB|＝m，则△ABF2的周长为__________．12．已知F1、F2分别为双曲线C：x29－y227＝1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|＝________.13．已知点(2,3)在双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．14．(10分)如图K49－2，已知双曲线x2－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．(1)求k的取值范围，并求x2－x1的最小值；(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1k2是定值吗？证明你的结论．图K49－215．(13分)已知两定点F1(－2，0)，F2(2，0)，满足条件|PF2|－|PF1|＝2的点P的轨迹是曲线E，直线y＝kx－1与曲线E交于A，B两点．如果|AB|＝63，且曲线E上存在点C，使OA→＋OB→＝mOC→，求m的值和△ABC的面积S.3难点突破16．(12分)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右顶点为A，右焦点为F，直线x＝a2c(c＝a2＋b2)与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又OA→＝2OB→，OA→·OC→＝2，过点F的直线与双曲线右支交于点M、N，点P为点M关于x轴的对称点．(1)求双曲线的方程；(2)证明：B、P、N三点共线；(3)求△BMN面积的最小值．4课时作业(四十九)【基础热身】1．B[解析]椭圆x24＋y2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．因为点P(2,1)在双曲线上，所以4a2－1b2＝1，a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求的双曲线方程是x22－y2＝1.2．B[解析]根据S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2，即|PF1|＝|PF2|＋λ|F1F2|，即2a＝λ2c，即λ＝ac＝45.3．D[解析]设F为左焦点，结合图形可知kFB＝bc，而对应与之垂直的渐近线的斜率为k＝－ba，则有bc－ba＝－1，即b2＝ac＝c2－a2，整理得c2－ac－a2＝0，两边都除以a2可得e2－e－1＝0，解得e＝1±52，由于e1，故e＝1＋52.4．B[解析]F(2,0)，即c＝2，设P(x0，y0)，根据抛物线的定义x0＋2＝5，得x0＝3，代入抛物线方程得y20＝24，代入双曲线方程得9a2－24b2＝1，结合4＝a2＋b2，解得a＝1，b＝3，故双曲线的渐近线方程是3x±y＝0.【能力提升】5．B[解析]因为F(－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝4，即a2＝3，所以双曲线方程为x23－y2＝1.设点P(x0，y0)，则有x203－y20＝1(x0≥3)，解得y20＝x203－1(x0≥3)．因为FP→＝(x0＋2，y0)，OP→＝(x0，y0)，所以OP→·FP→＝x0(x0＋2)＋y20＝x0(x0＋2)＋x203－1＝4x203＋2x0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴方程为x0＝－34，因为x0≥3，所以当x0＝3时，OP→·FP→取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP→·FP→的取值范围是[3＋23，＋∞)．6．B[解析]∵抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，则在双曲线中有a2＋b2＝(－6)2＝36①，又∵双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线为y＝3x，∴ba＝3②，联立①②解得a2＝9，b2＝27，所以双曲线的方程为x29－y227＝1.7．B[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.∵AB过F，N，∴斜率kAB＝1.∵x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，∴两式相减，得x1－x2x1＋x2a2－y1－y2y1＋y2b2＝0，∴4b2＝5a2，又∵a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5.8．B[解析]设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，则p2＝c，即p＝2c，抛物线方程为y2＝4cx，根据题意c2a2－y2b2＝1，y2＝4c·c，消掉y得c2a2－4c2b2＝1，即c2(b2－4a2)＝a2b2，即c2(c2－5a2)＝a2(c2－a2)，即c4－6a2c2＋a4＝0，即e4－6e2＋1＝0，解得e2＝6＋322＝3＋22，故e＝1＋2.9．D[解析]不妨设|PF1|，|PF2|，|F1F2|成等差数列，则4c2＝|PF1|2＋|PF2|2，由2|PF2|＝2c＋|PF1|，且|PF2|－|PF1|＝2a，解得|PF1|＝2c－4a，|PF2|＝2c－2a，代入4c2＝|PF1|2＋|PF2|2，5得4c2＝(2c－2a)2＋(2c－4a)2，化简整理得c2－6ac＋5a2＝0，解得c＝a(舍去)或者c＝5a，故e＝ca＝5.10．y＝±2x[解析]根据已知|PF1|＝2b2a且|PF2|＝b2a，故2b2a－b2a＝2a，所以b2a2＝2，ba＝2.11．4a＋2m[解析]由|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a⇒|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝4a，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝m，∴|AF2|＋|BF2|＝4a＋m.则△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.12．6[解析]根据角平分线的性质，||AF2||AF1＝||MF2||MF1＝12.又||AF1－||AF2＝6，故||AF2＝6.13．2[解析]方法一：点(2,3)在双曲线C：x2a2－y2b2＝1上，则4a2－9b2＝1.又由于2c＝4，所以a2＋b2＝4.解方程组4a2－9b2＝1，a2＋b2＝4得a＝1或a＝4.由于ac，故a＝1.所以离心率为e＝ca＝2.方法二：∵双曲线的焦距为4，∴双曲线的两焦点分别为F1(－2，0)，F2(2,0)，点(2,3)到两焦点的距离之差的绝对值为2，即2a＝2，∴a＝1，离心率e＝ca＝2.14．[解答](1)∵l与圆相切，∴1＝|m|1＋k2，∴m2＝1＋k2，①由y＝kx＋m，x2－y2＝1，得(1－k2)x2－2mkx－(m2＋1)＝0，∴1－k2≠0，Δ＝4m2k2＋41－k2m2＋1＝4m2＋1－k2＝80，x1x2＝m2＋1k2－10，∴k21，∴－1k1，故k的取值范围为(－1,1)．由于x1＋x2＝2mk1－k2，∴x2－x1＝x1＋x22－4x1x2＝22|1－k2|＝221－k2，∵0≤k21∴当k2＝0时，x2－x1取最小值为22.(2)由已知可得A1，A2的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，∴k1＝y1x1＋1，k2＝y2x2－1，∴k1k2＝y1y2x1＋1x2－1＝kx1＋mkx2＋mx1＋1x2－1＝k2x1x2＋mkx1＋x2＋m2x1x2＋x2－x1－1＝k2·m2＋1k2－1－mk·2mkk2－1＋m2m2＋1k2－1－22k2－1－16＝m2k2＋k2－2m2k2＋m2k2－m2m2＋1－22－k2＋1＝k2－m2m2－k2＋2－22，由①，得m2－k2＝1，∴k1k2＝－13－22＝－(3＋22)为定值．15．[解答]由双曲线的定义可知，曲线E是以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的双曲线的左支，且c＝2，a＝1，易知b＝1，故曲线E的方程为x2－y2＝1(x0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意建立方程组y＝kx－1，x2－y2＝1，消去y，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，有1－k2≠0，Δ＝2k2＋81－k20，x1＋x2＝－2k1－k20，x1x2＝－21－k20，解得－2k－1.又∵|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋k2·－2k1－k22－4×－21－k2＝21＋k22－k21－k22，依题意得21＋k22－k21－k22＝63，整理后得28k4－55k2＋25＝0，∴k2＝57或k2＝54，又－2k－1，∴k＝－52，故直线AB的方程为52x＋y＋1＝0.设C(xc，yc)，由已知OA→＋OB→＝mOC→，得(x1，y1)＋(x2，y2)＝(mxc，myc)，∴(xc，yc)＝x1＋x2m，y1＋y2m(m≠0)．又x1＋x2＝2kk2－1＝－45，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝2k2k2－1－2＝2k2－1＝8，∴点C－45m，8m，将点C的坐标代入曲线E的方程，得80m2－64m2＝1，得m＝±4，但当m＝－4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，∴m＝4，C点的坐标为(－5，2)，C到AB的距离为52×－5＋2＋1522＋12＝13，∴△ABC的面积S＝12×63×13＝3.7【难点突破】16．[解答](1)由题意得a＝2a2c，a3＝2c，解得a2＝4，c2＝