2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题湖北卷高中数学练习试题

12013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5}U，集合{1,2}A，{2,3,4}B，则UBAðA．{2}B．{3,4}C．{1,4,5}D．{2,3,4,5}2．已知π04，则双曲线1C：22221sincosxy与2C：22221cossinyx的A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A．()p∨()qB．p∨()qC．()p∧()qD．p∨q4．四名同学根据各自的样本数据研究变量,xy之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且2.3476.423yx；②y与x负相关且3.4765.648yx；③y与x正相关且5.4378.493yx；④y与x正相关且4.3264.578yx.其中一定不．正确．．的结论的序号是A．①②B．②③C．③④D．①④5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是6．将函数3cossin()yxxxR的图象向左平移(0)mm个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是距学校的距离距学校的距离距学校的距离ABCD时间时间时间时间OOOO距学校的距离2A．π12B．π6C．π3D．5π67．已知点(1,1)A、(1,2)B、(2,1)C、(3,4)D，则向量AB在CD方向上的投影为A．322B．3152C．322D．31528．x为实数，[]x表示不超过x的最大整数，则函数()[]fxxx在R上为A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数9．某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元10．已知函数()(ln)fxxxax有两个极值点，则实数a的取值范围是A．(,0)B．1(0,)2C．(0,1)D．(0,)二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．i为虚数单位，设复数1z，2z在复平面内对应的点关于原点对称，若123iz，则2z.12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为；（Ⅱ）命中环数的标准差为.13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输入m的值为2，则输出的结果i.14．已知圆O：225xy，直线l：cossin1xy（π02）.设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k.否AAm1ii输入m1,1,0ABi开始结束是?AB输出i第13题图BBi315．在区间[2,4]上随机地取一个数x，若x满足||xm的概率为56，则m.16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17．在平面直角坐标系中，若点(,)Pxy的坐标x，y均为整数，则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的1S，0N，4L.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的,,SNL分别是；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为SaNbLc，其中a，b，c为常数.若某格点多边形对应的71N，18L，则S（用数值作答）.三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos23cos()1ABC.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积53S，5b，求sinsinBC的值.19．（本小题满分13分）已知nS是等比数列{}na的前n项和，4S，2S，3S成等差数列，且23418aaa.（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得2013nS？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．420．（本小题满分13分）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为121AAd．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为122BBd，123CCd，且123ddd.过AB，AC的中点M，N且与直线2AA平行的平面截多面体111222ABCABC所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形；（Ⅱ）在△ABC中，记BCa，BC边上的高为h，面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222ABCABC的体积V）时，可用近似公式VSh估中来估算.已知1231()3VdddS，试判断V估与V的大小关系，并加以证明.21．（本小题满分13分）设0a，0b，已知函数()1axbfxx.（Ⅰ）当ab时，讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）当0x时，称()fx为a、b关于x的加权平均数.（i）判断(1)f,()bfa,()bfa是否成等比数列，并证明()()bbffaa；（ii）a、b的几何平均数记为G.称2abab为a、b的调和平均数，记为H.若()HfxG，求x的取值范围.第20题图522．（本小题满分14分）如图，已知椭圆1C与2C的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2()nmn，过原点且不与x轴重合的直线l与1C，2C的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．记mn，△BDM和△ABN的面积分别为1S和2S.（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若12SS，求的值；（Ⅱ）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得12SS？并说明理由．OxyBA第22题图CDMN62013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：1．B2．D3．A4．D5．C6．B7．A8．D9．C10．B二、填空题：11．23i12．（Ⅰ）7（Ⅱ）213．414．415．316．317．（Ⅰ）3,1,6（Ⅱ）79三、解答题：18．（Ⅰ）由cos23cos()1ABC，得22cos3cos20AA,即(2cos1)(cos2)0AA，解得1cos2A或cos2A（舍去）.因为0πA，所以π3A.（Ⅱ）由1133sin53,2224SbcAbcbc得20bc.又5b，知4c.由余弦定理得2222cos25162021,abcbcA故21a.又由正弦定理得222035sinsinsinsinsin2147bcbcBCAAAaaa.19．（Ⅰ）设数列{}na的公比为q，则10a，0q.由题意得2432234,18,SSSSaaa即23211121,(1)18,aqaqaqaqqq解得13,2.aq故数列{}na的通项公式为13(2)nna.7（Ⅱ）由（Ⅰ）有3[1(2)]1(2)1(2)nnnS.若存在n，使得2013nS，则1(2)2013n，即(2)2012.n当n为偶数时，(2)0n，上式不成立；当n为奇数时，(2)22012nn，即22012n，则11n.综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{21,,5}nnkkkN.20．（Ⅰ）依题意12AA平面ABC，12BB平面ABC，12CC平面ABC，所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又121AAd，122BBd，123CCd，且123ddd.因此四边形1221AABB、1221AACC均是梯形.由2AA∥平面MEFN，2AA平面22AABB，且平面22AABB平面MEFNME，可得AA2∥ME，即A1A2∥DE.同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG.又M、N分别为AB、AC的中点，则D、E、F、G分别为11AB、22AB、22AC、11AC的中点，即DE、FG分别为梯形1221AABB、1221AACC的中位线.因此12121211()()22DEAABBdd，12121311()()22FGAACCdd，而123ddd，故DEFG，所以中截面DEFG是梯形.（Ⅱ）VV估.证明如下：由12AA平面ABC，MN平面ABC，可得12AAMN.而EM∥A1A2，所以EMMN，同理可得FNMN.由MN是△ABC的中位线，可得1122MNBCa即为梯形DEFG的高，因此13121231()(2)22228DEFGddddaaSSddd中梯形，即123(2)8ahVShddd估中.又12Sah，所以1231231()()36ahVdddSddd.于是1231232131()(2)[()()]6824ahahahVVdddddddddd估.由123ddd，得210dd，310dd，故VV估.821．（Ⅰ）()fx的定义域为(,1)(1,)，22(1)()()(1)(1)axaxbabfxxx.当ab时，()0fx，函数()fx在(,1)，(1,)上单调递增；当ab时，()0fx，函数()fx在(,1)，(1,)上单调递减.（Ⅱ）（i）计算得(1)02abf，2()0babfaab，()0bfaba.故22(1)()[()]2bababbffabfaaba,即2(1)()[()]bbfffaa.①所以(1),(),()bbfffaa成等比数列.因2abab，即(1)()bffa.由①得()()bbffaa.（ii）由（i）知()bfHa，()bfGa.故由()HfxG，得()()()bbffxfaa.②当ab时，()()()bbffxfaaa.这时，x的取值范围为(0,)；当ab时，01ba，从而bbaa，由()fx在(0,)上单调递增与②式，得bbxaa，即x的取值范围为,bbaa；当ab时，1ba，从而bbaa，由()fx在(0,)上单调递减与②式，得bbxaa，即x的取值范围为,bbaa.22．依题意可设椭圆1C和2C的方程分别为1C：22221xyam，2C：22221xyan.其中0amn，1.mn（Ⅰ）解法1：如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为0x，则111||||||22SBDOMaBD，211||||||22SABONaAB，所以12||||SBDSAB.在C1和C2的方程中分别令0x，可得Aym，Byn，Dym，于是||||1||||1BDAByyBDmnAByymn