2014届海淀区高三期中数学试卷及答案

海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科)2013.11本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合{1,1,2}A，{|10}Bxx，则AB(A)A.{1,1,2}B.{1,2}C.{1,2}D.{2}2.下列函数中，值域为(0,)的函数是(C)A.()fxxB.()lnfxxC.()2xfxD.()tanfxx3.在ABC中，若tan2A，则cosA=(B)A.55B.55C.255D.2554.在平面直角坐标系xOy中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)OABCm，若//OBAC，则实数m的值为(C)A.2B.12C.12D.25.若aR，则“2aa”是“1a”的（B）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知数列na的通项公式2(313)nnan，则数列的前n项和nS的最小值是（B）A.3SB.4SC.5SD.6S7.已知0a，函数2πsin,[1,0),()21,[0,),xxfxaxaxx若11()32ft，则实数t的取值范围为（D）A.2[,0)3B.[1,0)C.[2,3)D.(0,)8.已知函数sincos()sincosxxfxxx，在下列给出结论中：①是()fx的一个周期；②()fx的图象关于直线x4对称；③()fx在(,0)2上单调递减.其中，正确结论的个数为（C）A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。9.10(21)dxx___________.210.已知数列{}na为等比数列，若13245,10aaaa，则公比q____________.211.已知23log5,23,log2bac，则,,abc的大小关系为____________.abc12.函数π()2sin()(0,||)2fxx的图象如图所示，则______________，__________.2π3,π613.已知ABC是正三角形，若ACABa与向量AC的夹角大于90，则实数的取值范围是__________.214.定义在(0,)上的函数()fx满足：①当[1,3)x时，()1|2|fxx；②(3)3()fxfx.设关于x的函数()()Fxfxa的零点从小到大依次为12,,,,nxxx.若1a，则123xxx；若(1,3)a，则122nxxx________________.答案：14；6(31)n三、解答题:本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。15.（本小题满分13分）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc,60A,32,bc332ABCS.（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求sinB的值.解：（Ⅰ）由60A和332ABCS可得133sin6022bc,---------------------------2分xyO31所以6bc，--------------------------------------3分又32,bc所以2,3bc.------------------------------------5分（Ⅱ）因为2,3bc,60A,由余弦定理2222cosabcbcA可得------------------------------------7分2222367a，即7a.------------------------------------9分由正弦定理sinsinabAB可得------------------------------------11分72sinsin60B，------------------------------------12分所以21sin7B.------------------------------------13分16.（本小题满分14分）已知函数2π()3cos42cos(2)14fxxx.（I）求()fx的最小正周期；（II）求()fx在区间ππ[,]64上的取值范围.解：（I）π()3cos4cos(4)2fxxx------------------------------------2分3cos4sin4xx------------------------------------4分π2sin(4)3x------------------------------------6分()fx最小正周期为πT2，------------------------------------8分（II）因为ππ64x，所以ππ4π4333x-----------------------------------10分所以3πsin(4)123x-----------------------------------12分所以π32sin(4)23x，-----------------------------------13分所以()fx取值范围为[3,2].------------------------------------14分17.（本小题满分13分）如图，已知点(11,0)A，直线(111)xtt与函数1yx的图象交于点P，与x轴交于点H，记APH的面积为()ft.xyHAOP（I）求函数()ft的解析式；（II）求函数()ft的最大值.解：（I）由已知11,1AHtPHt-------------------------------------1分所以APH的面积为1()(11)1,1112ftttt.---------------------4分（II）解法1.111'()1(11)2221ftttt3(3)41tt-------------------------------------7分由'()0ft得3t，-------------------------------------8分函数()ft与'()ft在定义域上的情况下表：t(1,3)3(3,11)'()ft+0()ft↗极大值↘-----------------------------------12分所以当3t时，函数()ft取得最大值8.------------------------------------13分解法2.由211()(11)1(11)(1),11122ftttttt设2()(11)(1),111gtttt，-------------------------------------6分则2'()2(11)(1)(11)(11)(1122)3(3)(11)gttttttttt.-------7分函数()gt与'()gt在定义域上的情况下表：t(1,3)3(3,11)'()gt+0()gt↗极大值↘------------------------------------11分所以当3t时，函数()gt取得最大值，-----------------------------------12分所以当3t时，函数()ft取得最大值1(3)82g.------------------------------------13分18.（本小题满分13分）已知数列{}na满足：①20a；②对于任意正整数,pq都有2pqpqaa成立.（I）求1a的值；（II）求数列{}na的通项公式；（III）若2(1)nnba，求数列{}nb的前n项和.解：（I）由②可得2112aa，3122aa-------------------------------2分由①可得12a.-------------------------------3分（II）由②可得112nnaa，------------------------------6分所以数列{}na的通项公式2nna.------------------------------7分（III）由（II）可得21(1)421nnnnba，易得1{4},{2}nn分别为公比是4和2的等比数列，------------------------------8分由等比数列求和公式可得124(14)4(12)1(416)214123nnnnnSnn.--13分19.（本小题满分14分）已知函数2()2(1)2ln(0)fxxaxaxa.（I）当1a时，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（II）求()fx的单调区间；（III）若()0fx在区间[1,e]上恒成立，求实数a的取值范围.解：（I）因为1a，2()42lnfxxxx,所以2242'()(0)xxfxxx,------------------------------1分(1)3f，'(1)0f,------------------------------3分所以切线方程为3y.------------------------------4分(II）222(1)22(1)()'()(0)xaxaxxafxxxx,----------------------------5分由'()0fx得12,1xax,------------------------------6分当01a时，在(0,)xa或(1,)x时'()0fx，在(,1)xa时'()0fx,所以()fx的单调增区间是(0,)a和(1,)，单调减区间是(,1)a；---------------7分当1a时，在(0,)x时'()0fx，所以()fx的单调增区间是(0,)；-----8分当1a时，在(0,1)x或(,)xa时'()0fx，在(1,)xa时'()0fx.所以()fx的单调增区间是(0,1)和(,)a，单调减区间是(1,)a.---------------10分(III）由（II）可知()fx在区间[1,e]上只可能有极小值点，所以()fx在区间[1,e]上的最大值在区间的端点处取到，-------------------------12分即有(1)12(1)0fa且2(e)e2(1)e20faa,解得2e2e2e2a.---------------------14分20.（本小题满分13分）已知数列{}na的首项1,aa其中*aN，*1*,3,,31,3,.nnnnnaallaaallNN令集合*{|,}nAxxanN.（I）若4a是数列{}na中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；（II）求证：{1,2,3}A；（III）当2014a时，求集合A中元素个数()CardA的最大值.解：（I）27,9,3；8,9,3；6,2,3.--------------------------------------3分（II）若ka被3除余1，则由已知可得11kkaa,2312,(2)3kkkkaaaa；若ka被3除余2,则由已知可得11kkaa,21(1)3kkaa,31(1)13kkaa；若ka被3除余0，则由已知可得113kkaa,3123kkaa；所以3123kkaa