2014年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷数学理科答案与解析参考版历年数学高考试题

海量资源尽在星星文库：年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学理科一.选择题.1.【答案】B【解析】由题可得111122ziiiziziziizizi,故选B.【考点定位】复数2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即123ppp,故选D.【考点定位】抽样调查3.【答案】C【解析】分别令1x和1x可得113fg且111fg111fg,则1131211111fgffgg111fg,故选C.【考点定位】奇偶性4.【答案】A【解析】第1n项展开式为55122nnnCxy,则2n时,2532351121022022nnnCxyxyxy,故选A.【考点定位】二项式定理5.【答案】C【解析】当xy时,两边乘以1可得xy,所以命题p为真命题,当1,2xy时,因为22xy,所以命题q为假命题,所以②③为真命题,故选C.【考点定位】命题真假逻辑连接词6.【答案】D【解析】当2,0t时,运行程序如下,2211,9,32,6ttSt,当0,2t海量资源尽在星星文库：时,33,1St,则2,63,13,6S,故选D.【考点定位】程序框图二次函数7.【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r,则2286862rrr,故选B.【考点定位】三视图内切圆球8.【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x,则有2111xpq111xpq,故选D.【考点定位】实际应用题9.【答案】A【解析】函数fx的对称轴为2xk2xk,因为2302sin0coscos03xdxsin03,所以23k或423k,则56x是其中一条对称轴,故选A.【考点定位】三角函数图像辅助角公式10.【答案】B【解析】由题可得存在0,0x满足0220001ln2xxexxa001ln2xexa0,当0x取决于负无穷小时,001ln2xexa趋近于,因为函数1ln2xyexa在定义域内是单调递增的,所以01ln002ealnlnaeae,故选B.【考点定位】指对数函数方程二.填空题.11.【答案】2sin42【解析】曲线C的普通方程为22211xy,设直线l的方程为yxb,因为弦长2AB,所以圆心2,1到直线l的距离0d,所以圆心在直线l上,故海量资源尽在星星文库：2sincos1sin42,故填2sin42.【考点定位】极坐标参数方程12.【答案】32【解析】设线段AO交BC于点D延长AO交圆与另外一点E,则2BDDC,由三角形ABD的勾股定理可得1AD,由双割线定理可得2BDDCADDEDE,则直径332AEr,故填32.【考点定位】勾股定理双割线定理13.【答案】3【解析】由题可得52331233aa3a,故填3.【考点定位】绝对值不等式14.【答案】2【解析】求出约束条件中三条直线的交点为,,4,kkkk,2,2,且,4yxxy的可行域如图,所以2k,则当,kk为最优解时,362kk,当4,kk为最优解时,24614kkk,因为2k,所以2k,故填2.【考点定位】线性规划15.【答案】21海量资源尽在星星文库：【解析】由题可得,,,22aaCaFbb,则2222apaabpb21ab,故填21.【考点定位】抛物线16.【答案】23【解析】动点D的轨迹为以C为圆心的单位圆,则设为3cos,sin0,2,则223cos1sin3OAOBOD82cos3sin,因为cos3sin的最大值为2,所以OAOBOD的最大值为1223,故填23.【考点定位】参数方程圆三角函数17.某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35,现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲,乙两组的研发是相互独立的.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A研发成功,预计企业可获得120万元,若新产品B研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.17.【答案】(1)1315(2)详见解析【解析】(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件,则事件B为一种新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为23,35,则2312211353515PB,再根据对立事件概率之间的公式可得13115PAPB,所以至少一种产品研发成功的概率为1315.(2)由题可得设该企业可获得利润为,则的取值有0,1200,1000,120100,即0,120,100,220,由独立试验的概率计算公式可得:2320113515P;23412013515P;2311001355P;232220355P;海量资源尽在星星文库：所以的分布列如下:0120100220P2154151525则数学期望24120120100220151555E322088130.【考点定位】分布列期望独立试验的概率18.如图5,在平面四边形ABCD中,1,2,7ADCDAC.(1)求cosCAD的值;(2)若7cos14BAD,21sin6CBA,求BC的长.18.【答案】(1)27cos7CAD(2)67【解析】解:(1)由DAC关于CAD的余弦定理可得222cos2ADACDCCADADAC174217277,所以27cos7CAD.(2)因为BAD为四边形内角,所以sin0BAD且sin0CAD,则由正余弦的关系可得sinBAD21891cos14BAD且221sin1cos7CADCAD,再有正弦的和差角公式可得sinsinsincossincosBACBADCADBADCADCADBAD1892721714771433371437,再由ABC的正弦定理可得海量资源尽在星星文库：737216BC67.【考点定位】正余弦定理正余弦之间的关系与和差角公式19.如图6,四棱柱1111ABCDABCD的所有棱长都相等,11111,ACBDOACBDO,四边形11ACCA和四边形11BDDB为矩形.(1)证明:1OO底面ABCD;(2)若060CBA,求二面角11COBD的余弦值.19.【答案】(1)详见解析(2)25719【解析】(1)证明:四棱柱1111ABCDABCD的所有棱长都相等四边形ABCD和四边形1111ABCD均为菱形11111,ACBDOACBDO1,OO分别为11,BDBD中点四边形11ACCA和四边形11BDDB为矩形1//OO11//CCBB且11,CCACBBBD11,OOBDOOAC又ACBDO且,ACBD底面ABCD1OO底面ABCD.海量资源尽在星星文库：(2)过1O作1BO的垂线交1BO于点E,连接11,EOEC.不妨设四棱柱1111ABCDABCD的边长为2a.1OO底面ABCD且底面ABCD//面1111ABCD1OO面1111ABCD又11OC面1111ABCD111OCOO四边形1111ABCD为菱形1111OCOB又111OCOO且1111OOOCO,111,OOOB面1OBD11OC面1OBD又1BO面1OBD111BOOC又11BOOE且1111OCOEO,111,OCOE面11OEC1BO面11OEC11OEC为二面角11COBD的平面角,则1111cosOEOECEC060CBA且四边形ABCD为菱形11OCa,113,BOa22111112,7OOaBOBOOOa,则1111111112221sin377OOaOEBOOBOBOaaBOa再由11OEC的勾股定理可得22221111121977ECOEOCaaa,则1111cosOEOECEC221257719197aa,所以二面角11COBD的余弦值为25719.海量资源尽在星星文库：【考点定位】线面垂直二面角20.已知数列na满足111,nnnaaap,*nN.(1)若na为递增数列,且123,2,3aaa成等差数列,求P的值;(2)若12p,且21na是递增数列,2na是递减数列,求数列na的通项公式.20.【答案】(1)13p(2)1141,33241,332nnnnan为奇数为偶数【解析】解:(1)因为数列na为递增数列,所以10nnaa,则11nnnnnnaapaap,分别令1,2n可得22132,aapaap2231,1apapp,因为123,2,3aaa成等差数列,所以21343aaa224113130ppppp13p或0,当0p时,数列na为常数数列不符合数列na是递增数列,所以13p.(2)由题可得122122212121111,222nnnnnnnnnaaaaaa,因为21na是递增数列且2na是递减数列,所以2121nnaa且222nnaa,则有22221221222121nnnnnnnnaaaaaaaa,因为(2)由题可得122122212121111,222nnnnnnnnnaaaaaa,因为21na是递增数列且2na是递减数列,所以21210nnaa且2220nnaa2220nnaa,两不等式相加可得21212220nnnnaaaa2212221nnnnaaaa,又因为2212112nnnaa22212112nnnaa,所以2210nnaa,即2212112nnnaa,同理可得2322212nnnnaaaa且2322212nnnnaaaa,所以212212nnnaa,则当2nm*mN海量资源尽在星星文库：时,21324322123211111,,,,2222mmmaaaaaaaa,这21m个等