2015广东高考数学理试题及答案解析历年数学高考试题

海量资源尽在星星文库：年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1.若集合|(4)(1)0,|(4)(1)0MxxxNxxx，则MNA.1,4B.1,4C.0D.【答案】D【解析】1,40)1)(4(xxxM，4,10)1)(4(xxxNNM2.若复数(32)zii（i是虚数单位），则zA.23iB.23iC.32iD.32i【答案】A【解析】23)23(iiiz，iz323.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是2A.1yx1B.yxx1C.22xxyD.xyxe【答案】D【解析】A和C选项为偶函数，B选项为奇函数，D选项为非奇非偶函数4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为5A.2110B.2111C.21D.1【答案】B【解析】211021515110CCCP海量资源尽在星星文库：=0xy且与圆225xy相切的直线的方程是A.250250xyxy或B.250250xyxy或C.250250xyxy或D.250250xyxy或【答案】A【解析】设所求直线为02cyx，因为圆心坐标为（0，0），则由直线与圆相切可得55122ccd，解得5c，所求直线方程为052052yxyx或6.若变量,xy满足约束条件4581302xyxy，则32zxy的最小值为A.423B.5C.631D.5【答案】B【解析】如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标函数32zxy，则当目标函数过点（1，85），32zxy取最小值为2357.已知双曲线2222:1xyCab的离心率54e，且其右焦点为2(5,0)F，则双曲线C的方程为22A.143xy22B.1916xy22C.1169xy22D.134xy【答案】C【解析】由双曲线右焦点为)0,5(2F，则c=5，445aace9222acb，所以双曲线方程为191622yx8.若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值A.3至多等于B.4至多等于C.5等于D.5大于【答案】B【解析】当3n时，正三角形的三个顶点符合条件；当4n时，正四面体的四个顶点符合条件海量资源尽在星星文库：，C，D四个选项，故答案选B二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（9-13题）9.在4x（-1）的展开式中，x的系数为.【答案】6【解析】2444411rrrrrrxCxC，则当2r时，x的系数为61242C10.在等差数列{}na中，若3456725aaaaa，则28aa.【答案】10【解析】由等差数列性质得，255576543aaaaaa，解得55a，所以102582aaa11.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3a，1sin2B，6C，则b=.【答案】1【解析】656,21sin或BB，又6C，故6B，所以32A由正弦定理得，BbAasinsin，所以1b12.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言。（用数字作答）【答案】156013.已知随机变量X服从二项分布(,)Bnp，()30EX，()20DX，则p.【答案】31【解析】30npXE，20)1(pnpXD，解得31p（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题），14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2sin()24，点A的极坐标为7(22,)4A，则点A到直线l的距离为.【答案】225【解析】2)cos22sin22(2)4sin(21cossin即直线l的直角坐标方程为011yxxy，即，点A的直角坐标为（2，-2）海量资源尽在星星文库：d15.(几何证明选讲选做题)如图1，已知AB是圆O的直径，4AB,EC是圆O的切线，切点为C，1BC，过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD=.【答案】8【解析】图1如图所示，连结O，C两点，则CDOC,ACOD90ACDCDO90CABCBACBAACD，,CABCDO则，所以BCOCABOD,所以8OD三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=（22，-22），n=（sinx，cosx），xÎ（0，π2）.（1）若m⊥n，求tanx的值；（2）若m与n的夹角为，求x的值.【解析】（1）∵m⃗⃗⃗=(√22,−√22)，n⃗=(sinx,cosx)，且m⃗⃗⃗⊥n⃗，∴m⃗⃗⃗⋅n⃗=√22sinx−√22cosx=0解得，anx=1（2）∵m⃗⃗⃗与n⃗的夹角为π3∴m⃗⃗⃗⋅n⃗=|m⃗⃗⃗||n⃗|cosπ3=12∴m⃗⃗⃗⋅n⃗=√22(sinx−cosx)=sin(x−π4)=12∴x−π4=π6+2kπ(k∈Z)∵x∈(0，π2)∴x=5π1217.（本小题满分12分）海量资源尽在星星文库：名工人的年龄数据如下表：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄140244340441533640745842943103611441238133914331545163917381836192720432141223723342442253726442742283429393043313832423353343735493639（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里采用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值x和方差2s；（3）36名工人中年龄在xs-与xs+之间有着多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01%）？【解析】（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34的年龄数据为样本。则样本的年龄数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37（2）由（1）中的样本年龄数据可得，4037434437364336404491x则有240372404324044240372403624043240362404024044912s=9100（3）由题意知年龄在910040910040，之间，即年龄在4337，之间，由（1）中容量为9的样本中年龄在4337，之间的有5人，所以在36人中年龄在4337，之间的有209536（人），则所占百分比为55.56%100%362018.（本小题满分14分）海量资源尽在星星文库：，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB＝6，BC=3，点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB，（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P-AD-C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值.【解析】（1）证明：PCPD为等腰三角形PDCE为CD边的中点，所以，DCPEABCDPDC平面平面，DCABCDPDC平面平面，且PDCPE平面∴PEABCD平面ABCDFG平面，FGPE（2）由长方形ABCD知，DCADABCDPDC平面平面，DCABCDPDC平面平面，且ABCDAD平面PDCAD平面PDCPD平面，ADPDCADDCPDAPCADPDADDC平面，平面，且，由CADPPDC即为二面角由长方形ABCD得6ABDC，E为CD边的中点，则321DCDE7343422PEDCPEDEPD，，，37tanDEPEPDC即二面角CADP的正切值为37（3）如图，连结A,CGBCGFBAF22，海量资源尽在星星文库：，ACFG//PAC为直线PA与直线FG所成角.由长方形ABCD中36BCAB，得533622AC由（2）知PDAD，43PDBCAD，54322AP由题意知4PC25592cos222ACAPPCACAPPAC所以，直线PA与直线FG所成角的余弦值为255919.（本小题满分14分）设1a，函数2()(1)xfxxea=+-.（1）求()fx的单调区间；（2）证明：()fx在(),-??上仅有一个零点；（3）若曲线()yfx=在点P处的切线与x轴平行，且在点(,)Mma的切线与直线OP平行（O是坐标原点），证明：321mae?-.【解析】（1）222()(1)()=2(1)(1)()0()RxxxxfxxeafxxexexexRfxfx时，恒成立的单调递增区间为（2）由（1）可知()fx在R上为单调递增函数()=(+)(1)1()0()(,)aaaxafaaeaeaeafafx当时，1在上仅有一个零点海量资源尽在星星文库：（3）令点P为00(,)xy020002()P()=(1)02=-1,p(-1,-)2-2OP1M(m,n)OP2()(1)xopmyfxxfxxexaeaekaefmmeae曲线在点处的切线与轴平行直线斜率为在点处的切线与直线平行33221,(1)amaee要证明m即证32(1)(1)1()1()1()0,0()+()(0)0101mmmmmmmmegmemgmegmmgmgmgemem需证明需证明设令在(-,0)上单调递减，在(0，)上单调递增命题得证.20.（本小题满分14分）已知过原点的动直线l与圆221:650Cxyx+-+=相交于不同的两点A，B.（1）求圆1C的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线:(4)Lykx=-与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】（1）由题意知：圆1C方程为：22(3)4xy∴圆1C的圆心坐标为（3,0）海量资源尽在星星文库：（2）由图可知，令22221111111(,),||,||(3)MxyOMxyCMxy222112222211112211||||||3(3)39()24OCOMCMxyxyxy∵直线L与圆1C交于A、B两点∴直线L与圆1C的距离：02d221122111220(3)4930(3)()442533395C()(,3]243xyxxxxyx轨迹的方程为：（3）∵直线L：2239(4)()124ykxxy与曲线仅有个交点联立方程：22(4)5(,3]393