2017年北京东城区高三一模数学文试题及答案

1北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（一）数学（文科）本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)（1）如果|0RAxx，0,1,2,3B，那么集合BAA.空集B.0C.0,1D.1,2,3（2）某高校共有学生3000人，新进大一学生有800人．现对大学生社团活动情况进行抽样调查，用分层抽样方法在全校抽取300人，那么应在大一抽取的人数为A.200B.100C.80D.75（3）如果4log1a，2log3b，2logc，那么三个数的大小关系是A.cbaB.acbC.abcD.bca（4）如果过原点的直线l与圆22(4)4xy切于第二象限，那么直线l的方程是A.3yxB.3yxC.2yxD.2yx（5）设函数30()10.2xxfxxx，，，若()1fa，则实数a的取值范围是A.(0,2)B.(0,)C.(2,)D.(,0)∪(2,+)（6）“0cossin”是“cos20”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件2（7）如果某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形的有A.1B.2C.3D.4（8）如果函数)(xfy在定义域内存在区间],[ba，使)(xf在],[ba上的值域是]2,2[ba，那么称)(xf为“倍增函数”．若函数)ln()(mexfx为“倍增函数”，则实数m的取值范围是A.),41(B.)0,21(C.)0,1(D.)0,41(第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)（9）如果2(1)(1)ixx是纯虚数，那么实数x．（10）如果执行如图所示的程序框图，那么输出的k___．（11）如果直线l：1(0)ykxk与双曲线221169xy的一条渐近线平行，那么k=__．（12）“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，于2016年8月16日发射升空.“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信.量子通信是通过光子的偏振状态，使用二进制编码，比如，码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度，码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度.如下图所示开始结束1kk131m1kk1?200m是输出k否3编码方式1编码方式2码元0码元1信号发出后，我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码，比如，信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式1进行解码，这时能够完美解码；信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式2进行解码，这时无法获取信息.如果发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率是____；如果发送端发送3个码元，那么恰有两个码元无法获取信息的概率是____.（13）已知ABC中，=120A，且2ABAC，那么BC_______，BCCA____．（14）已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回.若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠_________公里.三、解答题(共6小题，共80分.答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)（15）（本小题13分）已知点)1,4(在函数()2sincoscos2fxaxxx的图象上.(Ⅰ)求a的值和()fx最小正周期；(Ⅱ)求函数()fx在(0,上的单调减区间.（16）（本小题13分）已知数列}{na是等差数列，前n项和为nS，若139,21aS．（Ⅰ）求数列}{na的通项公式；（Ⅱ）若58,kaaS，成等比数列，求k的值．4（17）（本小题14分）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形，ADBD且=ADBD，ACBDO,PO平面ABCD.（I）E为棱PC的中点，求证：//OE平面PAB；（II）求证：平面PAD平面PBD；(III)若PDPB，=2AD,求四棱锥PABCD的体积.（18）（本小题13分）某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中，对某居民小区进行用水情况随机抽样调查，获得了该小区400位居民某月的用水量数据（单位：立方米），整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直方图：组号分组频数1[0.5,1）202[1,1.5）403[1.5,2）804[2,2.5）1205[2.5,3）606[3,3.5）407[3.5,4）208[4,4.5）20（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）从该小区随机选取一名住户，试估计这名住户一个月用水量小于3立方米的概率；（Ⅲ）若小区人均月用水量低于某一标准，则称该小区为“节水小区”.假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，经过估算，该小区未达到“节水小区”标准，而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为65%，经过同学们的节水宣传，三个月后，又进行一次同等规模的随机抽样调查，数据如右图所示，估计这时小区是否达到“节水小区”的标准？并说明理由.ABCDPO5ABCDOF1xyF2E（19）（本小题13分）已知椭圆2222:1(0)xyWabab的左右两个焦点为12,FF，且122FF，椭圆上一动点P满足1223PFPF．（Ⅰ）求椭圆W的标准方程及离心率；（Ⅱ）如图，过点1F作直线1l与椭圆W交于点,AC，过点2F作直线21ll，且2l与椭圆W交于点,BD，1l与2l交于点E，试求四边形ABCD面积的最大值.（20）（本小题14分）设函数axxxxf232131)(，Ra．(Ⅰ)若2x是)(xf的极值点，求a的值，并讨论)(xf的单调性；(Ⅱ)已知函数3221)()(2axxfxg，若)(xg在区间)1,0(内有零点，求a的取值范围；(Ⅲ)设)(xf有两个极值点1x，2x，试讨论过两点))(,(11xfx，))(,(22xfx的直线能否过点)1,1(，若能，求a的值；若不能，说明理由．6北京市东城区2016-2017学年第二学期高三综合练习（一）数学（文科）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）D（2）C（3）A（4）B（5）B（6）A（7）D（8）D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）1（10）5（11）34（12）12，38（13）23，6（14）810注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解:(Ⅰ)点π(,1)4在函数()fx的图象上，()=2sincoscos14442ππππfa.1.a()2sincoscos2sin2cos22sin(2)4fxxxxxxπxTπ.------------------6分(Ⅱ)由3222242kxk≤≤,得522244kxk≤≤,588kxk≤≤函数()fx的单调减区间为5,().88kkkZ函数()fx在(0,上的单调减区间为5,.88------------------13分（16）（共13分）7解：（Ⅰ）等差数列}{na中，139,21aS,13321ad.97d.2.d数列}{na的通项公式为211nan.------------------6分（Ⅱ）数列}{na是等差数列,1=92ad，,210nSnn.2-k10kSk.211nan,15a，85a．58kaaS，，成等比数列，285kaaS．22510kk（）.即210250kk，解得5k.------------------13分（17）（共14分）解：（I）因为O是平行四边形ABCD对角线交点，所以O为AC中点又E为棱PC中点，所以//OEPA因为OE平面PAB，PA平面PAB，所以//OE平面PAB……………………5分（II）因为POABCD面，所以POAD又BDAD，BDPOO，所以ADPBD面因为ADPAD面，8所以PADPBD面面……………………10分（III）因为O是平行四边形ABCD对角线交点，所以O为BD中点又PDPB，2ADBD，可求得112POBD因为POABCD面，所以13PABCDABCDVSPO1222242ABCDABDSS所以11441333PABCDABCDVSPO四边形……………………14分（18）（共13分）解答：（Ⅰ）由数据分组及频数分布表可知，404000.20.5a；1204000.60.5b……………………4分（Ⅱ）设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A，那么20408012060()0.8400PA……………………8分（Ⅲ）因为该小区居民月用水量低于这一标准的比例为35%，所以由图可知,小区人均月用水量低于2.5立方米，则称为“节水小区”.……………………10分由图可知，三个月后的该小区人均月用水量为10.11.50.1520.252.50.330.13.50.0540.052.252.5所以三个月后该小区达到了“节水小区”标准.……………………13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由已知，22222223caabc，解得132cab.所以椭圆W的标准方程为22132xy，离心率33cea.……………………4分（Ⅱ）由题意可知12EFEF，由此可求得121||||12EOFF所以E点轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，显然E点在椭圆W的内部所以111||||||||||||222ABCADCABCDSSSACBEACDEACBD四边形9当直线12,ll一条为椭圆的长轴，一条与x轴垂直时，例如AC为长轴，BDx轴时把1x代入椭圆方程，可求得233y，由此43||3BD，又||23AC所以此时1||||42ABCDSACBD当直线12,ll的斜率都存在时，设直线1:1,(0)lxmym，设1122(,),(,)AxyBxy联立221132xmyxy消去x可得22(23)440mymy所以122122423423myymyym.22212243(1)(1)23mACmyym同理，由21:1lxxm可求得2243(1)23mBDm22222222424224242421143(1)43(1)24(1)||||222323(23)(32)24(21)4(6126)4(1)4613661366136ABCDmmmSACBDmmmmmmmmmmmmmmm四边形综上，四边形ABCD面积的最大值为4，此时直线12,ll一条为椭圆的长轴，一条与x轴垂直.……………………13分（20）（共14分）解析：(Ⅰ)由axxxxf232131)(求得axxxf2)('2024)2('aaf，代入)1)(2(2)('2xxxxxf令0)('xf得21x，12x),2(),1,(x当时，0)('xf，)(xf单调递增；)2,1(x当时，0)('xf，)