2017年天津高考数学文试题及答案历年数学高考试题

数学（天津卷·文史）答案第1页（共6页）绝密★启用前秘密★启用后不得翻印，阅后收回2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考解答评分说明：1．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．（1）B（2）B（3）C（4）C（5）D（6）C（7）A（8）A二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．（9）2（10）1（11）9π2（12）22131xy（13）4（14）311三．解答题（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式、两角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．满分13分．（Ⅰ）解：由sin4sinaAbB，及sinsinabAB，得2ab．由2225()acabc，及余弦定理，得222555cos25acbcaAbcac．（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得25sin5A，代入sin4sinaAbB，得sin5sin45aABb．由（Ⅰ）知，A为钝角，所以225cos1sin5BB．于是4sin22sincos5BBB，23cos212sin5BB，故4532525sin2sin2coscos2sin55555BABABA．数学（天津卷·文史）答案第2页（共6页）（16）本小题主要考查用二元线性规划的基础知识和基本方法解决简单实际问题的能力，以及抽象概括能力和运算求解能力．满分13分．（Ⅰ）解：由已知，x，y满足的数学关系式为70606005530200xyxyxyxy≤，≥，≤，≥，≥，即766062000xyxyxyxy≤，≥，≤，≥，≥，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：12345678912345678910xyO12345678912345678910yxOM（图1）（图2）（Ⅱ）解：设总收视人次为z万，则目标函数为6025zxy．考虑6025zxy，将它变形为12525zyx，这是斜率为125，随z变化的一族平行直线．25z为直线在y轴上的截距，当25z取得最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线6025zxy经过可行域上的点M时，截距25z最大，即z最大．解方程组766020xyxy，，得点M的坐标为(63)，．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．（17）本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．（Ⅰ）解：如图，由已知ADBC∥，故DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD平面PDC，所以ADPD．在RtPDA△中，由已知，得数学（天津卷·文史）答案第3页（共6页）225APADPD，故5cos5ADDAPAP．所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为55．（Ⅱ）证明：因为AD平面PDC，直线PD平面PDC，所以ADPD．又因为BCAD∥，所以PDBC，又PDPB，所以PD平面PBC．（Ⅲ）解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于ADBC∥，DFAB∥，故1BFAD，由已知，得2CFBCBF．又ADDC，故BCDC，在RtDCF△中，可得2225DFCDCF，在RtDPF△中，可得5sin5PDDFPDF．所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为55．（18）本小题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和公式等基础知识．考查数列求和的基本方法和运算求解能力．满分13分．（Ⅰ）解：设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q．由已知2312bb，得2112bqq，而12b，所以260qq．又因为0q，解得2q．所以，2nnb．由3412baa，可得138da①．由11411Sb，可得1516ad②，联立①②，解得11a，3d，由此可得32nan．所以，na的通项公式为32nan，nb的通项公式为2nnb．（Ⅱ）解：设数列2nnab的前n项和为nT，由262nan，有2342102162622nnTn，2341242102162682622nnnTnn，PBCADF数学（天津卷·文史）答案第4页（共6页）上述两式相减，得2311242626262622121246221234216.nnnnnnTnnn得234216nnTn．所以，数列2nnab的前n项和为234216nn．（19）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法．考查用函数思想解决问题的能力．满分14分．分（Ⅰ）解：由32()63(4)fxxxaaxb，可得23123434fxxxaaxaxa．令0fx，解得xa，或4xa．由1a≤，得4aa．当x变化时，fx，fx的变化情况如下表：x,a,4aa4,afxfx所以，fx的单调递增区间为a，，4a，，单调递减区间为4aa，．（Ⅱ）（ⅰ）证明：因为exgxfxfx，由题意知0000eexxgxgx，，所以0000000eeeexxxxfxfxfx，，解得0010.fxfx，所以，()fx在0xx处的导数等于0．数学（天津卷·文史）答案第5页（共6页）（ⅱ）解：因为exgx≤，00[11]xxx，，由e0x，可得1fx≤．又因为01fx，00fx，故0x为fx的极大值点，由（Ⅰ）知0xa．另一方面，由于1a≤，故14aa，由（Ⅰ）知fx在1aa，内单调递增，在1aa，内单调递减，故当0xa时，1fxfa≤在[11]aa，上恒成立，从而()exgx≤在00[11]xx，上恒成立．由32()63(4)1faaaaaab，得32261baa，11a≤≤．令32261txxx，11x，，所以2612txxx，令0tx，解得2x（舍去），或0x．因为17t，13t，01t，因此，tx的值域为71，．所以，b的取值范围是71，．（20）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和方程思想．考查运算求解能力，以及综合分析问题和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解：设椭圆的离心率为e．由已知，可得2122bcac．又由222bac，可得2220caca，即2210ee．又因为01e，解得12e．所以，椭圆的离心率为12．（Ⅱ）（ⅰ）解：依题意，设直线FP的方程为xmyc（0m），则直线FP的斜率为1m．由（Ⅰ）知2ac，可得直线AE的方程为12xycc，即220xyc，与直线FP的方程联立，可解得222mcxm，32cym，即点Q的坐标为223,22mccmm．由已知32FQc，有2222233222mccccmm，整理得2340mm，所以43m，即直线FP的斜率为34．数学（天津卷·文史）答案第6页（共6页）（ⅱ）解：由2ac，可得3bc，故椭圆方程可以表示为2222143xycc．由（ⅰ）得直线FP的方程为3430xyc，与椭圆方程联立22223430143xycxycc，，消去y，整理得2276130xcxc，解得137cx（舍去），或xc．因此可得点P32cc，，进而可得223522ccFPcc，所以5322ccPQFPFQc．由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP．因为QNFP，所以339tan248ccQNFQQFN，所以FQN△的面积为2127232cFQQN，同理FPM△的面积等于27532c，由四边形PQNM的面积为3c，得22752733232ccc，整理得22cc，又由0c，得2c．所以，椭圆的方程为2211612xy．