三角函数与向量的基本概念及综合应用

海量资源尽在星星文库：湖南省省级示范性高中-------洞口三中方锦昌提供一、向量的基本概念：1、向量、平行向量（共线向量）、零向量、单位向量、相等向量：2、向量的表示：→AB、→a、区别于|→AB|、|→a|3、向量的加法、减法：平行四边形法则和三角形法则★例题1、一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的速为2km/h；求船实际航行的速度大小和方向。（答案：4km/h，方向与水流方向成60°角）★【※题2】①设O为平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足→OP=→OA+(→AB+→AC),∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的(D)A外心B垂心C内心D重心②将上题中的条件改为→OP=→OA+(→AB|→AB|+→AC|→AC|)则应选(C)★例题3：（1）、化简下列各式：①→MN+→NM；②→FD+→DE-→EF；③→AB+→BC+→CA；④（→AB-→DC）+（→DA-→CB）其中结果为0的有①③④（2）、在平行四边形ABCD中，→AB=→a,DB=→b,则有:→AD=→a-→b,→AC=→a+→a-→b4、实数与向量的积、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示：①注意点的坐标和向量的坐标的差别：②向量的平等行和垂直坐标公式：5、向量的数量积的概念，以及向量平行、垂直、长度、夹角：★例1、已知平行四边形OADB中，→OA=→a,→OB=→b,AB与OD相交于点C，且|BM|=13|BC|，|CN|=13|CD|，用→a、→b表示→OM、→ON、和→MN。★例2、求证；G为△ABC的重心的充要条件是：→GA+→GB+→GC=0★例3、已知AD、BE分别是△ABC的边BC、AC上的中线，→AD=→a,→BE=→b，则→BC=____★例4、①已知等差数列｛an｝的前n项之和为Sn,若M,N,,P三点共线，O为坐标原点，且→ON=a31→OM+a2→OP(直线MP不过点O），则S32等于多少？②（2006年江西高考）已知等差数列｛an｝的前n项之和为Sn,若→OB=a1→OA+a200→OC,且=A,B,C三点共线（该直线不过点O），则S200等于（）A100B101C200D201★例5、①若→a的起点和终点坐标分别为（1，3），（4，7），则|→a|=_____②已知→a=(1,2),→b=(x,1),且→a+2→b与2→a-→b平行，则x之值为____海量资源尽在星星文库：③已知→a=(3,4),→a⊥→b,且→b的起点坐标为(1,2)，终点坐标为(x,3x)，则→b等于_____④已知点M（3，-2），N（-5，-1），且→MP=12→MN，则点P的坐标是____（答案：（-1，-32）巩固练习：（一）平面向量的坐标运算规律：①设→a=(x1,y1),→b=(x2,y2),则→a+→b=_________；→a-→b=__________,→a=______；②|→a|=→a2=x12+y12；又→a·→b=|→a|·|→b|·cos→a,→b=x1x2+y1y2则cos→a,→b=→a·→b|→a||→b=x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22;③若→a∥→b⇔x1y2-x2y1=0;若→a⊥→b⇔x1x2+y1y2=0，★例1、①已知→a=(3,5)→b=(2,3),→c=(1,-2),求（→a·→b)·→c（答案：（21，-42））②已知→a=(3,-1),→b=(-1,2),则-3→a-2→b的坐标为_____(答案:(-7,-1))③已知|→a|=4,|→b|=3,(2→a-3→b)·(2→a+→b)=61,求→a与→b的夹角.(为120°)④已知|→a|=2,|→b|=9,→a·→b=-542,求→a与→b的夹角.(为135°)★例2、①已知→a=(1,2),→b=(x,1)且→a+2→b与2→a-→b平行，则x=_____(答案:21)②已知|→a|=2,|→b|=1,→a与→b的夹角为3,求向量2→a+3→b与3→a-→b的夹角的余弦值.(答案:2837·31)；③已知向量→a=(cos,sin),→b=(cos,sin),且→a≠±→b,则→a+→b与→a-→b的夹角大小是____(90°)④已知向量→a与→b的夹角为120°,且|→a|=3,|→a+→b|=13,则|→b|=_____★例3已知→a=(1,2),→b=(-3,2),当k为何值时,①k→a+→b与→a-3→b垂直?②k→a+→b与→a-3→b平行,平行时它们是同向还是反向?（解:①k=19;②k=-1/3,反向.）★例4:①若向量→a+3→b垂直于向量7→a-5→b,且向量→a-4→b垂直于向量7→a-2→b,求向量→a与→b的夹角大小.(答案:60°)②已知向量→a=(2,7),→b=(x,-3),当→a与→b的夹角为钝角时，求出x的取值范围；若→a与→b的夹角为锐角时，问x的取值范围又为多少？（答案：为钝角时x212,x≠-67;为锐角时x212)★例5、已知→a=(cosx2,sinx2),→b=(sin3x2,cos3x2),x∈[0,2]，①求→a·→b；②求|→a+→b|，③设函数（x)=→a·→b+2|→a+→b|，求出(x）的最大值和最小值。解：→a·→b=sin2x;|→a+→b|=2(sinx+cosx),(x）的最大值为1+22，最小值2海量资源尽在星星文库：★例6、已知向量a=(sin,1),b=(1,cos),-22,①若a⊥b,求出之值，②求出|a+b|的最大值。（答案：=-4，|a+b|的最大值2+1）★例7、①已知向量→a=(cos,sin),向量→b=(3,-1)，求|2→a-→b|的最大值。（答案为4）②已知向量→a=(3,1),向量→b=(x,-3),且→a⊥→b，求出x之值。（答案为1）③已知|→a|=3,|→b|=2,且→a与→b的夹角为60°，当m为何值时，两向量3→a+5→b与m→a-3→b互相垂直？（答案：m=2914）④已知|→a|=3,|→b|=8,向量→a与→b的夹角为120°，则|→a+→b|之值为多少？（答案：7）⑤已知|→a|=|→b|=1,及|3→a-2→b|=3，求出|3→a+→b|之值。（答案：23）⑥已知→a,→b是非0向量，且满足→a-2→b⊥→a,和→b-2→a⊥→b，则→a与→b的夹角为多少？（答案：为60）；⑦已知向量→a=(4,-3),|→b|=1,且→a·→b=5,则→b=_______（答案：（45，-35）⑧若向量→a与→b的夹角为60°，且|→b|=4，又有(→a+2→b)·(→a-3→b)=-72，则向量→a的模为多少？（答案：为6）；⑨已知点A（-2，0），点B（3，0），动点P（x,y)满足→PA·→PB=x2,则动点P的轨迹方程为____（答案：y2=x+6)⑩在△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，且a+c=2b,A-C=3，求sinB（答案：398）★例8、已知向量→a,→b,且|→a|=4,|→b|=3,又(2→a-3→b)·(2→a+→b)=61,则→a,→b=_____（120°）★例9、已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使→MP·→MN，→PM·→PN，→NM·→NP成公差小于0的等差数列，①求点P的轨迹方程；②若点P的纵坐标为2，求tan→PM,→PN之值。（答案：①x2+y2=3(x0);②2)★例10、已知→a=(1,-2),→b=(1,),①若→a和→b的夹角为锐角，求的取值范围；②若→a和→b垂直，求之值；③若→a和→b的夹角为钝角，求的取值范围；④若→a和→b同向，求的值；⑤若→a和→b反向，求的值；⑥若→a和→b共线，求的值。★例11、已知→a=(-3,2),→b=(2,1),→c=(3,-1),t∈R,①若→a-t→b与→c共线，求实数t之值。②求出|→a+t→b|的最小值及相应的t之值。海量资源尽在星星文库：四、三角与与向量的综合归纳1、三角变形公式主要是：①诱导公式；②sin(±),cos(±),tan(±);③sin2,cos2,tan2;③sin2,cos2;④asin+bcos;⑤注意常数代换（如1=sin2+cos2;12=sin30°=cos60°等；角的配凑（如=（+）-，2=（+）+（-），=+2+-2等）2、变形时，要注意角与角之间的相互关系，最常用的有：切割化弦、高次降幂、异角化同角等；（化同名、化同次、化同角）3、三角函数的图象和性质，要注意定义域、值域、奇偶性、图象对称性、周期性、单调性．．．．．．．．．．．．．．．．．、最值；正、余弦函数作图的“五点法”，以及图象的变换。4、解三角形时，要充分利用正弦定理、余弦定理，结合三角形的内角和定理，三角变形公式去处理问题；5、向量要注意选择几何、字符、坐标运算形式，力求简化运算过程；要将坐标运算与基底运算灵活加以应用；向量的数量积是解决有关平行、垂直、夹角、模、投影等问题的重要工具；利用|→a|2=→a·→a=→a2可以实现数量积与模的相互转化。【※题1】①已知→a=(1,1)→a与→a+2→b的方向相同,则→a·→b的取值范围是_______(答案:(-1,+∞))②已知非零向量→AB与→AC满足(→AB|→AB|+→AC|→AC|)·→BC=0,且→AB|→AB|·→AC|→AC|=21,则△ABC为(D)A钝角△BRt△C等腰非等边△D等边△③已知→OA=(3,1),→OB=(-1,2),若→OC⊥→OB,且→BC∥→OA,则→OC=________(答案:(14,7))④已知向量→a=(1,-2),→b=(1,),若→a与→b的夹角为锐角,则实数的取值范围是_____(答案:(-∞,-2)∪(-2,21))【※题2】设函数(x)=→a·→b,其中向量→a=(2cosx,1),→b=(cosx,3sin2x),①当(x)=1-3,且x∈[-3,3],求x；②若函数y=2sin2x的图象按向量→c=(m,n)(|m|2)平移后得到函数y=(x)的图象，求实数m,n之值。解:①(x)=2sin(2x+6)+1,则x=-4；②m=-π12,n=1★【※题3】①已知tan(-π)=21,则(2sin+cos)cos的值为（A）A85B45C1D0②已知、∈（3π4，π），sin(+)=-35,sin(-4)=1213,则cos(+4)=__________(答案：-5665）③已知（x)=2tanx-2sin2（x2）-1sinx2cosx2,则是（π12）的值为（）海量资源尽在星星文库：（解、（x)=4sin2x,则所求为8）★【※题4】①设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列，且c=2a,则cosB=(B)A14B34C24D23②已知某正弦函数y=Asin(ωx+)的部分图象如图示，则（x)的解析式为________(答案:y=y=-4sin(8x+4)③函数y=sin(2x-3)的图象是由函数y=cos2x的图象经过下列哪种平移变换而得到的(D)A向左平移56个单位B向右平移56个单位C向左平移5π12个单位D向右平移5π12个单位★【※题5】①设点P是函数(x)=sinωx的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是4,则(x)的最小正周期是_______(答案:π)②已知函数(x)=3sinπxr(r0)的图象上的一个最大值点和一个最小值点都在圆x2+y2=r2上,则(x)的最小正周期是______(答案:4)③已知函数y=sin(