上海市十二校2013届高三上12月联考数学试卷理科

2012-2013学年上海市十二校高三（上）12月联考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2012•黄浦区二模）函数f（x）=的定义域为（﹣，+∞）．考点：对数函数的定义．专题：计算题．分析：根据对数函数的性质可知对数函数的真数大于0，建立不等关系，解之即可求出所求．解答：解：∵2x+1＞0∴x＞﹣即函数f（x）=的定义域为（﹣，+∞）故答案为：（﹣，+∞）点评：本题主要考查了对数函数的定义域，掌握对数函数的性质是关键，属于基础题．2．（4分）已知角θ的终边过点P（﹣3，4），则sinθ+cosθ的值为．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用任意角的三角函数的定义，可求得sinθ，cosθ，从而可得sinθ+cosθ的值．解答：解：∵θ的终边过点P（﹣3，4），∴cosθ==﹣，sinθ==，∴sinθ+cosθ=+（﹣）=．故答案为：．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，根据θ的终边过点P（﹣3，4），求得sinθ，cosθ是关键，属于基础题．3．（4分）（2010•徐汇区二模）设集合，则A∪B={x|﹣1≤x＜2}考点：并集及其运算．分析：集合B为简单的二次不等式的解集，解出后，利用数轴与A求并集即可．解答：解：B=x|x2≤1=x|﹣1≤x≤1，A∪B={x|﹣1≤x＜2}，故答案为：{x|﹣1≤x＜2}．点评：本题考查集合的基本运算，属基本题，注意等号．4．（4分）（2012•黄浦区二模）若π≤x≤，则方程2sinx+1=0的解x=．考点：三角函数的化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：根据2sinx+1=0，得sinx=﹣．结合sin=和诱导公式sin（π+α）=﹣sinα，可得x的值．解答：解：∵2sinx+1=0，∴sinx=﹣∵π≤x≤，∴x=π+=故答案为：点评：本题给出角的范围和角的正弦值，求角的大小，着重考查了诱导公式和特殊角的三角函数值等知识，属于基础题．5．（4分）已知函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[2a﹣3，4﹣a]是偶函数，则a+b=2．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：偶函数定义域关于原点对称，且f（﹣x）=f（x），由此即可求出a，b．解答：解：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以2a﹣3+4﹣a=0，解得a=﹣1．由f（x）为偶函数，得f（﹣x）=f（x），即ax2﹣（b﹣3）x+3=ax2+（b﹣3）x+3，2（b﹣3）x=0，所以b=3．所以a+b=3﹣1=2．故答案为：2．点评：偶函数的定义域关于原点对称，f（﹣x）=f（x）恒成立，对于函数的奇偶性问题，往往从定义上考虑．6．（4分）已知幂函数y=f（x）存在反函数，若其反函数的图象经过点（，9），则的值是2．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：设幂函数y=f（x）=xα，由题意可得原函数f（x）的图象经过点（9，），求出α的值，可得函数解析式，从而求得的值．解答：解：设幂函数y=f（x）=xα，由题意可得原函数f（x）的图象经过点（9，），故有9α=，∴α=﹣，即f（x）==，∴==2，故答案为2．点评：本题主要考查函数与反函数的图象间的关系，用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．7．（4分）若等差数列{an}满足an+1+an=4n﹣3（n∈N*）．则a1的值为﹣．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据an+1+an=4n﹣3写出a2+a1，a3+a2的值，两式作差可求出公差，从而可求出首项．解答：解：∵an+1+an=4n﹣3∴a2+a1=4﹣3=1，a3+a2=4×2﹣3=5两式相减得a3﹣a1=5﹣1=4∵数列{an}是等差数列∴2d=4即d=2则a2+a1=2a1+d=1=2a1+2即a1=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了等差数列的通项，以及数列首项等概念，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．8．（4分）（2006•天津）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=20吨．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；压轴题．分析：先设此公司每次都购买x吨，利用函数思想列出一年的总运费与总存储费用之和，再结合基本不等式得到一个不等关系即可求得相应的x值．解答：解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，≥=160，当且仅当即x=20吨时，等号成立即每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．故答案为：20．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数模型的选择与应用、函数最值的应用等基础知识，考查应用数学的能力．属于基础题．9．（4分）函数（x∈[0，π]）的值域是．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式为2sin（x﹣），再根据x∈[0，π]，可得x﹣∈[﹣，]，由此求得函数f（x）的值域．解答：解：∵函数=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）．又∵x∈[0，π]，∴x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴2sin（x﹣）∈，即函数f（x）的值域为，故答案为．点评：本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．10．（4分）（2009•浦东新区一模）已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若S2=12，S3=a1﹣6，则=16．考点：等比数列的前n项和；极限及其运算．专题：计算题．分析：设出数列的公比为q，利用S2=12，S3=a1﹣6，求出a1，q，然后求出Sn，即可求出的值．解答：解：设数列的公比为q，其前n项和为Sn，若S2=12，S3=a1﹣6，所以a1+a2=12，a1+a2+a3=a1﹣6，解得a1=8，q=；Sn=；所以==16．故答案为16．点评：本题考查数列的前n项和的求法，数列极限的应用，考查计算能力，转化思想的应用，注意数列极限存在的含义．11．（4分）若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则实数a的取值范围是（﹣∞，5）．考点：特称命题．专题：不等式的解法及应用．分析：构造函数f（x）=2x2﹣ax+2，若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则f（1）＞0，或f（2）＞0，进而可得实数a的取值范围解答：解：令f（x）=2x2﹣ax+2若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则f（1）＞0，或f（2）＞0即4﹣a＞0，或10﹣2a＞0，即a＜4，或a＜5故a＜5即实数a的取值范围是（﹣∞，5）故答案为：（﹣∞，5）点评：本题考查的知识点是特称命题，其中构造函数，将存在性问题（特称命题），转化为不等式问题是解答的关键．12．（4分）在平面直角坐标系xOy中，函数f（x）=k（x﹣1）（k＞1）的图象与x轴交于点A，它的反函数y=f﹣1（x）的图象与y轴交于点B，并且这两个函数的图象交于点P．若四边形OAPB的面积是3，则k=．考点：反函数．专题：综合题．分析：取y=0，求出直线y=k（x﹣1）与x轴的交点，根据互为反函数图象之间的关系求得B点的坐标，设出P点的坐标，由四边形OAPB的面积等于3求出P点的坐标，代入直线y=k（x﹣1）后可求得k的值．解答：解：如图，因为函数f（x）=k（x﹣1）（k＞1）的图象与x轴交于点A，取y=0，得k（x﹣1）=0，所以x=1，则A（1，0），又因为互为反函数的两函数的图象关于直线y=x对称，所以B（0，1），设P（x0，y0），因为四边形OAPB的面积是3，所以，所以y0=±3，又直线f（x）=k（x﹣1）的斜率k＞1，所以直线f（x）=k（x﹣1）与直线y=x的交点在第一象限，所以y0=3，则P（3，3），把P（3，3）代入y=k（x﹣1）得：．故答案为．点评：本题考查了反函数，考查了互为反函数图象之间的关系，考查了数形结合的解题思想，解答此题的关键是明确互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，此题为中低档题．13．（4分）（2011•浦东新区三模）已知数列{an}是以3为公差的等差数列，Sn是其前n项和，若S10是数列{Sn}中的唯一最小项，则数列{an}的首项a1的取值范围是（﹣30，﹣27）．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：先根据其为等差数列得到其前n项和的表达式，再结合开口向上的二次函数离对称轴越近函数值越小得到关于首项a1的不等式，解不等式即可求出首项a1的取值范围解答：解：因为数列{an}是以3为公差的等差数列；所以：=n=+（）．对称轴n==．∵若S10是数列{Sn}中的唯一最小项，∴9＜n＜10，即⇒﹣30＜a1＜﹣27．故答案为：（﹣30，﹣27）．点评：本题主要考查等差数列的基本性质以及二次函数的性质应用，是对基础知识的综合考查，考查计算能力以及分析能力．14．（4分）（2012•松江区三模）对于定义域和值域均为[0，1]的函数f（x），定义f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，fn（x）=f（fn﹣1（x）），n=1，2，3，…．满足fn（x）=x的点x∈[0，1]称为f的n阶周期点．设则f的n阶周期点的个数是2n．考点：函数的周期性．专题：计算题；压轴题．分析：本题考查的知识点是归纳推理，方法是根据已知条件和递推关系，先求出f的1阶周期点的个数，2阶周期点的个数，然后总结归纳其中的规律，f的n阶周期点的个数．解答：解：当x∈[0，]时，f1（x）=2x=x，解得x=0当x∈（，1]时，f1（x）=2﹣2x=x，解得x=∴f的1阶周期点的个数是2当x∈[0，]时，f1（x）=2x，f2（x）=4x=x解得x=0当x∈（，]时，f1（x）=2x，f2（x）=2﹣4x=x解得x=当x∈（，]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=﹣2+4x=x解得x=当x∈（，1]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=4﹣4x=x解得x=∴f的2阶周期点的个数是22依此类推∴f的n阶周期点的个数是2n故答案为：2n点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于中档题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2012•上海二模）“x＞3”是“|x﹣3|＞0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：应用题．分析：当x＞3时，|x﹣3|＞0一定成立；当|x﹣3|＞0时，x≠3，从而可作出判断解答：解：当x＞3时，|x﹣3|＞0一定成立当|x﹣3|＞0时，x≠3∴x＞3是|x﹣3|＞0充分不必要条件故选A点评：本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于基础试题16．（5分）函数的图象如图所示，则y的表达式为（）A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；压轴题．分析：由=﹣可求得ω，再由ω+φ=+2kπ，|φ|＜，可求得φ，而A易知，从而可得答案．解答：解：由图可知，A=2，又=﹣=，∴T==π，∴ω=2；∴×2+φ=2kπ+，∴φ=﹣+2kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴y的表达式为y=2sin（2x﹣）．故选D．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定φ是难点，属于中档题．17．（5分）若，则该数列的前2012项的乘积a1•a2•a3•…•a2011•a2012=（）A．3B．﹣6C．2D．1考点：数列的概念及简单表示法．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：先由递推关系式，